Подставляя числовые данные и, решая систему уравнений, имеем

I_1x= 2,762A;I_4x= 0,127A.

Для определения U_x запишем уравнение второго закона Кирхгофа для любого контура, включающего искомое напряжение, например, для контура

R₁ - E₁ - U_x - E₂ - R₄ - R₁:

I_1xR₁ + U_x + I_4xR₄ = E₁ + E₂.

Отсюда U_x = E₁ + E₂ – I_1xR₁ – I_4xR₄ = 70 + 40 – 2,7626 – 0,12710 = 92,158 B.

Для вычисления входного сопротивления R_вх составляют схему пассивной части активного двухполюсника (рис. 6), в которой идеальные источники напряжения закорачиваются, а идеальные источники тока размыкаются.

в

R₁

R₃

R₆

R₅

а

d

а

R₄

Рис. 6. Цепь для расчета входного сопротивления

Преобразуем треугольник сопротивлений R₁–R₃–R₆между точкамиа, в, dв эквивалентную звезду (рис. 7).

а

а

d

в

R_в

R_d

R_а

R₄

R₅

Рис. 7. Преобразованная цепь для расчета

Сопротивления звезды R_a,R_B,R_dравны

Ом;

Ом;

Ом.

Для цепи рис. 7 получим

Ом.

Искомый ток

А.

ЗАДАЧА 6. Расчет и построение потенциальной диаграммы линейной

цепи постоянного тока.

Для построения потенциальной диаграммы выбираем контур С исходной цепи и вводим обозначения точек после каждого элемента контура (добавлены точки е иf (рис.8)).

E₅

R₄

R₅

R₆

a

I₅

e

c

I₄

E₆

I₆

f

Рис. 8. К расчету потенциальной диаграммы

Примем потенциал точки d за нуль и определим потенциалы остальных точек контура (направление обхода – по движению часовой стрелки):

Ф_d = 0;

Ф_f = Ф_d + I₆R₆ = 0 + (-3)5 = -15 B;

Ф_а = Ф_f + E₆ = -15 + 35 = 20 B;

Ф_с = Ф_а – I₄R₄ = 20 - (- 2)10 = 40 B;

Ф_е = Ф_с + I₅R₅ = 40 + (-1)15 = 25 B;

Ф_d=Ф_е – Е₅= 25 – 25 = 0.

Потенциальная диаграмма построена на рис. 9. По оси абсцисс откладывается сумма сопротивлений контура. Вертикальные отрезки afиedчисленно равны в масштабе ЭДС Е₆и Е₅соответственно.

В

30 Ф
a 20
10
d c e d R 0
-10	5	10	15	20	25	30 Ом
f -20

Рис. 9. Потенциальная диаграмма.

Тема 2. Однофазные электрические цепи синусоидального тока.

Решения задач рассматриваются на примере цепи, изображенной на рис. 10, в которой е₁= 51,86sin(t+ 25,87 ⁰);

E₃= 48 +j13 = 49,73exp(j15,1 ⁰) В;R₁= 2,R₂= 6,R₃= 4 Ом;

x_c1= 3,x_L2= 7,x_L3= 15 Ом; х_С3= 10 Ом.

x_L3

E₃

R₁

R₃

R₂

x_C1

x_C3

x_L2

E₁

I₁

I₃

I₂

а

в

Рис. 10. Заданная цепь

ЗАДАЧА 1. Составление уравнений на основании законов Кирхгофа.

1. Дифференциальная форма. Учитывая, что напряжение на активном сопротивлении , на индуктивности, на емкости

и выбирая направление обхода контуров совпадающим с направлением движения часовой стрелки (рис. 10), имеем

а)

А)

В) .

2. Символическая форма. В уравнениях индуктивное сопротивление (+jх_L), а емкостное (-jx_C):

a) I₁ – I₂ + I₃ = 0;

1. I₁(R₁ – jx_C1) + I₂(R₂ + jx_L2) = E₁;

2. –I₂(R₂ + jx_L2) – I₃(R₃ + jx_L3 – jx_C3) = -E₃.

ЗАДАЧА 2. Расчет цепи синусоидального тока методом контурных токов.

При решении задач пользуются двумя формами записи комплексных чисел – показательной и алгебраической:

A = Aexp(j) = A₁ + jA₂,

где A₁ = Acos ; A₂ = Asin ;

при А₁0;

при А₁0.

Составляем уравнения:

Определяем комплексное значение ЭДС е₁:

где E_1m– максимальное значение ЭДСе₁, E_1m= 51,86 В;

_E1 – начальная фаза ЭДС е₁, _E1= 25,87⁰;

В.

Подставляем числовые данные в систему уравнений:

I_A(8+j4) –I_B(6+j7) = 33 + j16;

-I_A(6+j7) + I_B(10+j12) = -(48+j 13).

Находим контурные токи методом определителей Крамера:

Перемножая комплексные числа в числителе и знаменателе последней дроби и приводя подобные члены, получим (учтем, что j²= -I)

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя:

A.

Аналогично определяем ток I_B:

A.

Реальные токи ветвей вычисляем по контурным:

I₁ = I_A = I + j2 = 2,236exp(j63,5⁰) A;

I₂ = I_A – I_B = (I + j2) – (-2 + j3) = 3 - jI = 3,162exp(-j18,4⁰) A;

I₃ = - I_B = 2 - j3 = 3,606exp(-j56,3⁰) A.

ЗАДАЧА 3. Расчет цепи синусоидального тока методом узловых потенциалов.

Примем потенциал точки в (рис. 10)Ф_в = 0, тогда для узлаа имеем

Ф_а ,

или с числовыми данными

Ф_а

Произведя деление в каждой дроби, получим

Ф_а(0,154 +j0,231 + 0,07 -j0,082 + 0,098 -j0,122) =

= 1,385 + j10,077 + 6,27 -j4,585.

Отсюда

Ф_а=В.

Токи ветвей определяем по обобщенному закону Ома

I₁ = A;

I₂ = A;

I₃ = A.

ЗАДАЧА 4. Расчет и построение топографической диаграммы, совмещенной с векторной диаграммой токов.

Топографической диаграммой называют векторную диаграмму напряжений построенную так, что каждой точке электрической цепи соответствует точка на комплексной плоскости. Векторы напряжений на диаграмме противоположны стрелкам (направлению) тех же напряжений в электрической цепи по отношению к обозначенным точкам. Построение топографической диаграммы можно производить двумя способами: либо вначале вычислить потенциалы точек цепи в комплексной форме и затем отложить их на комплексной плоскости, либо вычислить модули напряжений на отдельных элементах цепи, нанести на комплексной плоскости векторы токов и далее построить топографическую диаграмму, пользуясь известными правилами: на активном сопротивлении векторы напряжения и тока совпадают по фазе, на индуктивном - вектор напряжений опережает вектор тока на 90 ⁰, а на емкостном – вектор напряжения отстает от вектора тока на 90⁰.

По первому способу

Ф_в = 0;Ф_с=Ф_в+Е₁= 33 +j16 В;

Ф_d = Ф_с – I₁R₁ = 33 + j16 – (I + j2)2 = 31 + j12 В;

Ф_a = Ф_d – I₁(-jx_c1) = 31 + j12 - (I + j2)(-j3) = 25 + j15 В;

Ф_m = Ф_в + I₂R₂ = (3 - j1)6 = 18 - j6 В;

Ф_е = Ф_а + I₃jx_L3 = 25 + j15 + (2 - j3) j15 = 70 + j45 В;

Ф_f = Ф_e + I₃R₃ = 70 + j45 + (2 - j3) 4 = 78 + j33 В;

Ф_n = Ф_f – I₃(-jx_c3) = 78 + j33 + (2 - j3)(-j10) = 48 + j13 В.

Выбираем масштабы по току m_i и по напряжениюm_u, откладываем векторы токов и потенциалов и, пользуясь приведенными правилами, наносим направления векторов напряжений на отдельных участках цепи (рис. 11).

+j

e

f

I₁

I₂

I₃

а

d

в

с

n

m

+1

Рис. 11. Топографическая диаграмма (m_i = 0,5A/см;m_u= 10 В/см)

По второму способу

U_cd=I₁R₁= 2,2362 = 4,47B;

U_da = I₁x_c1 = 2,2363 = 6,7 B;

U_mв = I₂R₂ = 3,1626 = 18,97 B;

U_am = I₂x_L2 = 3,1627 = 22,13 B;

U_nf = I₃x_c3 = 3,60610 = 36,1 B;

U_fe = I₃R₃ = 3,6064 = 14,4 B;

U_ea = I₃x_L3 = 3,60615 = 54,1 B.

Строим в масштабе на комплексной плоскости векторы токов.

Вектор напряжения U_mвсовпадает с вектором токаI₂(на активном сопротивлении). Откладывая отрезоксм по направлению токаI₂, получаем точкуm. Из точкиmперпендикулярно к токуI₂в сторону опережения (на индуктивностиL₂) откладываем отрезок

см.

Получаем точку а. Для определения местоположения точкиdиз точкиапод углом 90⁰к токуI₁в сторону отставания (на участкеadемкость) проводим линию и на ней отмечаем отрезокНа участкеdcцепи включено активное сопротивлениеR₁, следовательно, векторdc параллелен вектору токаI₁.Продолжая аналогичные построения для каждого участка цепи, получаем диаграмму (рис. 11).

ЗАДАЧА 5. Расчет баланса активной и реактивной мощностей цепи

синусоидального тока.

Баланс мощностей может быть составлен двумя способами: с применением и без применения комплексного метода.

По первому способу определяют сумму комплексных мощностей источников и сумму комплексных мощностей приемников, включенных в ветви цепи. Мощность источников

S_u=E₁I₁^*+E₃I₃^*.

Здесь I₁^* иI₃^*- сопряженные комплексы токамI₁ иI₃соответственно;

S_u = (33 + j16)(I - j2) + (48 + j13)(2 + j3) = 122 + j120 вар.

Мощность приемников

S_пр=I₁²Z₁ +I₂²Z₂ + I₃²Z₃,

где Z₁=R₁ – jx_c1; Z₂=R₂+jx_L2;Z₃=R₃+jx_L3–jx_c3;

I₁, I₂, I₃– действующие значения токов;

S_пр = I₁²(R₁ - – jx_c1) + I₂²(R₂ + jx_L2) + I₃²(R₃ + jx_L3 – jx_c3);

S_пр=2,236²(2 - j3) + 3,162²(6 + j7) + 3,606²(4 + j15 - j10 ) =

= 122 + j120 ВА.

Отсюда Р_пр=122Вт;Q_пр =120вар.

По второму способу считают отдельно активные и реактивные мощности.

Активная мощность источников

P_u=E₁I₁cos₁+E₃I₃cos₃.

Здесь ₁– угол сдвига фаз междуЕ₁иI₁;

₁=_e1 - _i1= 25,87⁰– 63,5⁰= -37,63⁰;

₃– угол сдвига фаз междуЕ₃иI₃;

₃ = _e3 - _i3 = 15,1 ⁰ – (-56,3 ⁰) = 71,4 ⁰;

P_u = 36,672,236cos(-37,63⁰) + 49,733,606cos71,4⁰ = 122; 13 Вт.

Реактивная мощность источников

Q_u=E₁I₁sin₁+E₃I₃sin₃;

Q_u= 36,672,236sin(-37,63⁰) + 49,733,606sin71,4⁰= 119,9 вар.

Активная мощность приемников

Р_пр = I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃;

Р_пр = 2,236²2 + 3,162²6 + 3,606²4 = 122 Вт.

Реактивная мощность приемников

Q_пр=I₁²(-x_c1) + I₂²x_L2 + I₃²x_L3 - I₃²x_c3;

Q_пр= 2,236²(-3) + 3,162²7 + 3,606²15 – 3,606²10 = 120 вар.

Из расчета мощностей следует, что баланс сходится.

ЗАДАЧА 6. Построение графика зависимости мгновенного значения

синусоидальной величины от времени.

Запишем мгновенное значение тока i₁:

i₁ = 2,236A.

При построении графика откладывают начальную фазу _L1= 63,5⁰(рис. 12), причем положительную фазу влево от начала координат, а отрицательную – вправо. С точки зрения математики это означает перенос осей координат в точку А, т.е. производится замена переменных:

x=t+ 63,5⁰;i₁= 3,16sinx.

Эта функция начинается с точки А, где х = 0.

При x = 30⁰ i₁ = 3,16sin30⁰ = 3,160,5 = 1,58 A;

При x = 60⁰ i₁ = 3,16sin60⁰ = 3,16= 2,74 A;

Приx= 90⁰i₁= 3,16sin90⁰= 3,161 = 3,16A.

Далее точки располагаются симметрично (рис. 12).

i

A

2

t

1

x

-60^0

0

90^0

180^0

270^0

360^0

град

-1

i1

-2

Рис. 12. График зависимости тока i₁от времениt

ЗАДАЧА 7. Составление системы уравнений на основании законов Кирхгофа в магнитно-связанной цепи.

В уравнениях необходимо обратить внимание на запись знака напряжения взаимоиндукции U_вз = jx_МI. Если направление обхода первой катушки совпадает с направлением тока другой катушки по отношению к одноименным зажимам, то напряжение взаимоиндукции первой катушки записывают со знаком плюс, в противном случае напряжение взаимоиндукции будет со знаком минус.

Для рассматриваемой цепи (рис. )

а) I₁ – I₂ + I₃ = 0;

A) I₁R₁ + I₁(-jx_C1) + I₂jx_L2 – I₃jx_М + I₂R₂ = E₁;

B) – I₂R₂ – I₂jx_L2 + I₃jx_М – I₃jx_L3 + I₂jx_М - I₃(-jx_C3) = - E₃.

В уравнении для контура А напряжение взаимоиндукции второй катушки L2записано со знаком минус, так как направление обхода катушкиL2 выбрано от начала катушки к ее концу (обычно начало катушки обозначают точкой), а токI₃в катушкеL3протекает от конца катушки к ее началу, т.е. направление обхода катушкиL2не совпадает с направлением токаI₃в катушкеL3 по отношению к одноименным зажимам. В уравнение для контураВвошли два напряжения взаимоиндукции: второй катушкиU_вз2 =I₃jx_Ми третьей катушкиU_вз3 =I₂jx_М.