Тема 3. Трехфазные цепи.

Решения задач рассматриваются на примере цепи, изображенной на рис. 13., в которой U_A= 220B;x_A= 20 Ом;= 19⁰;R_н= 40 Ом;x_н= 30 Ом.

Рис. 13. Схема симметричной трехфазной цепи

ЗАДАЧА 1. Найти токи и напряжения U_ав,U_вс, U_сa, при отсутствии конденсаторов.

Так как трехфазная цепь симметрична, то расчет каждой фазы можно произвести отдельно друг от друга, предполагая, что в цепи присутствует нулевой проводник. Обычно рассчитывают токи и напряжения фазы А, а токи и напряжения других фаз получают, сдвигая векторы токов и напряжений на (-120⁰) и (+120⁰) для фазыВиС соответственноU_A= 220 В.

Пусть U_A=U_A= B- фазное напряжение фазы А.

Тогда U_В=U_A exp(-j120⁰)= 127exp(-j120⁰) = -63,5 -j110 B;

U_C = U_A exp(j120⁰) = 127exp(j120⁰) = -63,5 + j110 B.

Для определения токов, необходимо знать сопротивления фаз:

сопротивление нагрузки

Z_Н=R_Н+jx_Н = 40 +j30 = 50exp(j36,9⁰) Ом.

Общее сопротивление каждой фазы

Z=Z_Н + jx_А= 40 +j30 +j2 = 40 +j32 = 51exp(j38,7⁰) Ом.

Ток фазы Апо закону Ома

I_A= A,

токи фаз ВиС:

I_B = I_Aexp(-j120⁰) = 2,48exp(-j38,7⁰)exp(-j120⁰) = 2,48exp(-j158,7⁰) = -2,31 – j0,9 A;

I_C = I_Aexp(j120⁰) = 2,48exp(-j38,7⁰)exp(j120⁰) = 2,48exp(j83,3⁰) = 0,37 + j2,45 A.

Искомые напряжения U_ав,U_всиU_саопределяют по исходной цепи, составляя уравнениеIIзакона Кирхгофа для соответствующего контура

U_ав=I_A Z_Н - I_В Z_Н= (I_A - I_В) Z_Н= (1,94 –j1,55 + 2,31 +j0,9)50exp(j36,9⁰) = = 214,71exp(j28,2⁰) = 189,21 +j101,5B;

U_вc=U_авexp(-j120⁰) = 214exp(j28,2⁰)exp(-j120⁰)= 214,71exp(-j91,8⁰) = = - 6,71 –j214,6B;

U_ca=U_авexp(j120⁰) = 214exp(j28,2⁰)exp(j120⁰)= 214,71exp(j148,2⁰) = = - 182,5 +j113,11B.

Определим активную, реактивную и полную мощности трехфазного источника энергии при отсутствии в цепи конденсаторов.

Полная мощность

S =3U_AI_A= ВА.

Активная

P = Scos_A = 945cos[0 – (-38,7⁰)] = 737,5 Вт.

Реактивная

Q = Ssin_A = 945sin[0 – (-38,7⁰)] = 590,8 вар.

Здесь _A– угол между вектором напряженияU_Aи вектором токаI_A.

ЗАДАЧА 2. Определить значения емкостей конденсаторов, при которых угол между напряжением U_a и токомI_Aбудет равен.

Построим векторную диаграмму токов фазы А(рис. 14), предполагая известным вектор напряженияU_a.

А

х_л

I_A

I_а

x_c

R_н

I_с

х_н

N

n

Рис. 14. Схема замещения одной фазы трехфазной цепи

Уменьшим все стороны диаграммы в U_aраз. Из полученного треугольника проводимостей следует (рис. 15)

Y_нcos_н=Y_нсcos

Y_нsin_н=Y_нсsin+Y_c

Здесь Y_н=;Y_c=- проводимость ветви с емкостью,

Y_нс - проводимость двух параллельных ветвей: нагрузки и емкости

(рис. 14).

Рис. 15. Векторная диаграмма токов и треугольник проводимостей

Из первого уравнения последней системы уравнений

Y_НС=

Из второго –

Y_C =Y_Нsin_н -Y_НCsin=Y_Нsin_н -sin.

Учитывая, что sin_н= ;cos_н=, получим:

Y_C=с_= (x_н-R_нtg),

где Z_Н²=R _Н²+x _Н²= 40²+ 30²= 2500 Ом².

Из последнего уравнения

с_= мкФ.

Так как в исходной цепи конденсаторы соединены в треугольник, то

С = мкФ.

ЗАДАЧА 3. Решить задачу 1 при наличии в цепи конденсаторов.

Найдем емкостное сопротивление конденсатора в схеме замещения

(рис. 14).

Ом.

Сопротивление двух параллельных ветвей: x_cи нагрузкиZ_н

Z_нс=

= 55, 8 + j19,24 Ом.

Общее сопротивление фазы А

Z=jx_л + Z_нс=j2 + 55,8 +j19,24 = 55,8 +j21,24 = 59,78exp(j20,8⁰) Ом.

Ток фазы А

I_A= A.

Токи фаз В и С

I_B=I_Aexp(-j120⁰) = 2,12exp(-j20,8⁰)exp(-j120⁰)= 2,12exp(-j140,8⁰) =

= - 1,647 - j1,342 A;

I_C = I_Aexp(j120⁰)= 2,12exp(j20,8⁰)exp(j120⁰) = 2,12exp(j99,2⁰) =

= - 0,34 + j2,097A.

Напряжение на параллельных ветвях фазы А

U_a=I_A Z_нс = 2,12exp(-j20,8⁰)59,1exp(j19⁰) = 125,56exp(-j1,8⁰) =

= 125,5 – j3,97B.

Напряжения U_ви U_с

U_в=U_aexp(-j120⁰) = 125,56exp(-j1,8⁰)exp(-j120⁰) = 125,56exp(-j124,8⁰) =

= - 66,18 - j106,69B;

U_с=U_aexp(j120⁰) = 125,56exp(-j1,8⁰)exp(j120⁰) = 125,56exp(j118,2⁰) =

= - 59,31 + j110,66B.

Ток нагрузки фазы а

I_a= A;

Токи фаз вис

I_в=I_аexp(-j120⁰) = 2,51exp(-j38,7⁰)exp(-j120⁰) = 2,51exp(-j158,7⁰) =

= - 2,34 - j0,91 A;

I_с = I_аexp(j120⁰)= 2,51exp(-j38,7⁰)exp(j120⁰) = 2,51exp(j81,3⁰) =

= 0,38 +j2,48A.

Линейные напряжения трехфазного приемника

U_ав=U_a–U_в= 125,5 -j3,97 – (- 66,18 -j106,69) = 191,68 +j102,72 =

= 217,47exp(j28,2⁰)B;

U_вc=U_aвexp(-j120⁰) = 217,47exp(j28,2⁰)exp(-j120⁰) = 217,47exp(-j91,8⁰) =

= - 6,83 – j217,36 B;

U_ca = U_aвexp(j120⁰) = 217,47exp(j28,2⁰)exp(j120⁰) = 217,47exp(j148,2⁰) =

= - 184,83 +j114,6B.

Для определения токов в конденсаторах найдем емкостное сопротивление конденсатора в исходной цепи

x_c= 3x_c= 3154,06 = 462,2 Ом.

Токи конденсаторов

I_ав= A;

I_вc=I_авexp(-j120⁰) = 0,47exp(j118,2⁰)exp(-j120⁰) = 0,47exp(-j1,8⁰) =

= 0,47 - j0,014 A;

I_сa = I_авexp(j120⁰) = 0,47exp(j118,2⁰)exp(j120⁰) = 0,47exp(-j121,8⁰) =

= - 0,25 -j0,399A.