14.2. Линейная модель цифрового фильтра. Нерекурсивные и рекурсивные фильтры

Понятие фильтр будем использовать в широком смысле как уст­ройство для обработки сигнала заданным способом. Как отмечалось, частотные фильтры, пропускающие определенные полосы частотных составляющих, являются одной из разновидностей фильтров.

Поскольку цифровой фильтр обрабатывает сигналы на основе ис­пользования вычислительной техники, то сигнал, поступающий на вход вычислительного устройства, должен быть цифровым, т. е. дис­кретным и квантованным. Как правило, исходный, подлежащий обра­ботке сигнал является аналоговым, поэтому на первом этапе цифровой обработки его преобразуют в цифровой дискретизацией и квантова­нием, что осуществляет устройство, называемое аналого-цифровымпреобразователем (АЦП).

Дискретизация представляет собой замену непрерывного во времени сигнала последовательностью отсчетов (выборок), взятых че­рез определенные интервалы времени. Ранее отмечалось, что дискре­тизация должна осуществляться с частотой, достаточной для сохра­нения точности представления непрерывного сигнала. Квантование — это замена выборок напряжения дискретного сигнала, каж­дая из которых может принимать бесчисленное множество значений, выборками напряжения, принимающими одно из конечного числа значений.

Квантование эквивалентно округлению числа при вычислениях и должно осущест­вляться с необходимой для решения задачи точностью. В результате выполнения опера­ций дискретизации и квантования сигнал на выходе АЦП есть последовательность выборок сигнала, представленных в виде, пригодном для обработки вычислительным устройством.

Квантование отсчета (выборки) можно рассматривать как появление в тракте обработки сигнала некоторой помехи, максимальное значение которой не превышает половины шага квантования. Последнее можно представить схемой (рис. 14.1), гдеu_кв(kT)— квантованное значение выборки; ∆u(kT) — погрешность представления выборки сигнала и (kT), обусловленная квантованием. Если погрешность квантования пренебрежимо мала, то можно считать, что фильтр осуществляет пре­образования точных значений выборок дискретизированного сигнала. Такой фильтр называют дискретным. Если требуется учет по­грешности, вызванной квантованием выборок дискретизированного аналогового сигнала, то возникновение и преобразование этой по­грешности цифровым фильтром следует рассматривать совместно с пре­образованием квантованных отсчетов, пользуясь при этом представ­лением выборок сигнала, показанным на рис. 14.1.

Таким образом, в обоих случаях можно рассматривать прохожде­ние через фильтр последовательности отсчетов дискретного сигнала. При этом, как отмечалось в главе 1, для цепей, находящихся под воз­действием дискретных сигналов, можно использовать те же характери­стики, что и для аналоговых цепей. Реакцию цепи на единичный им­пульс называют импульснойхарактеристикой цепи. Для аналоговых цепей она представляет собой непрерыв­ную функцию G (t). Если единичный импульс

подать на вход цифрового фильтра, то сигнал на его выходе будет пред­ставлять собой дискретную последовательность значений, следующих с интерваломТ, называемым интерваломдискретизации. Этот сигнал является импульснойхарактеристи­койцифровогофильтра.

При воздействии на цепь с импульсной характеристикой G (kT) сигналом, представляющим собой последовательность значений х (kT), выходной сигнал по аналогии с интегралом свертки (1.14) определя­ется дискретной сверткой:

Формула (14.1) определяет значение k-йвыходной выборки. Для на­хождения выходного сигнала ее следует применить многократно для последовательного вычисления у(0); у (Т)\ у (2Т) и т.д.

Реакция фильтра на единичный импульс:

Если реакция фильтра на единичный импульс представлена конеч­ным числом отсчетов, то G (kT) состоит из конечного числа членовK. В этом случае и реакция фильтра у (kT) на сигнал, представляемый конечным числом отсчетов х (kT), имеет конечное число отсчетов. Так, например, приК= 3 импульсная характеристика фильтра определя­ется четырьмя значениями:

Последнему выражению соответствует схема (рис. 14.2), которая входную последовательность отсчетов х (kT) преобразует в выходную у (kT) и представляет собой дискретный фильтр с импульсной характе­ристикой G (kT).Эта схема является также моделью цифрового фильт­ра, в которой не учитываются погрешности квантования.Такую модель называют линейной.На схему, приведенную на рис. 14.2, можно смотреть и как на форму представления алгоритма преобразования х (kT) ву (kT) в соответствии с выражением (14.1). Рассмотренный фильтр не имеет цепей обратной связи и называется нерекур­сивным.

Для практической реализации нерекурсивного фильтра импульс­ная характеристика G (kT) должна представлять собой последователь­ность с конечным числом членов.

Если импульсная характеристика содержит бесконечное число от­счетов, быстро убывающих по значению, то можно, отбросив отсчеты с малыми значениями, ограничиться конечным их числом. Если же отсчеты импульсной характеристики не убывают по значению, то не­рекурсивный фильтр реализовать невозможно.

Пусть, например, необходимо создать цифровой фильтр, эквива­лентный цепи (рис. 14.3), которую в этом случае называют фильтром-прототипом. Такая цепь была рассмотрена в § 1.1, а ее импульсная характеристика (см. § 1.5) имеет вид:

Импульсная характеристика дискретного фильтра:

Как видно, она содержит бесконечное число отсчетов. Соответст­вующий фильтр можно построить двумя способами:

заменить бесконечную последовательность конечной, отбросив от­счеты, значением которых можно пренебречь, и построить по ней не­рекурсивный фильтр (см. рис. 14.2), где G(0) = α; G(T) =αe^-αt;G(2T) =αe^-2αt; G(3T) =αe^-3αtи т. д.;

охарактеризовать цепь дифференциальным уравнением, которое (см. § 1.2) имеет вид:

и перейти от него к разностному.

В § 1.1, переходя к разностному уравнению, мы заменяли на, а в теории цифровой фильтрации заменяютна

При этом дифференциальное уравнение (14.5) переходит в разностное:

Имея в виду, что αТ-малая величина, 1+αТ- можно рассматривать как приближенное представление и положить .

Коэффициент x(kT) при b=αТобеспечивает физическую экви­валентность при замене непрерывного воздействия х (t) последова­тельностью импульсов с амплитудами х (kT). Таким должен быть ко­эффициент bпри дискретной фильтрации. При цифровой обработке сигналов физическое значение импульсов несущественно, множитель T в выражении коэффициента bявляется масштабным и может быть при­нят равным единице и тогда b = α.

Уравнение (в.6) можно переписать в виде

Выражению (14.7) соответствует схема (рис. 14.4). При подаче на ее вход сигнала

на выходе последовательно будут получаться:

Рассматриваемый фильтр имеет требуемую импульсную характери­стику. У него есть цепь обратной связи и он представляет собой так называемыйрекурсивный фильтр. Этот фильтр эквива­лентен нерекурсивному фильтру

(см. рис. 14.2). Однако, как видно из рис. 14.4, схема и соответственно алгоритм рекурсивного фильтра проще, чем нерекурсивного. Так, для определения одного значения выходного сигнала для нерекурсивного фильтра требуется выполнить 2/С операций, а для рекурсивного — только две операции. Поэтому если импульсная характеристика цифрового (дискретного) фильтра должна иметь боль­шое число отсчетов, то целесообразно использовать рекурсивные схемы. Нерекурсивную схему следует применять при реализации фильтров с импульсной характеристикой, содержащей небольшое число отсчетов. В технической литературе, посвященной цифровым и дискретным фильтрам, использована и другая терминология: фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) и с бесконечной им­пульсной характеристикой (БИХ-фильтры). Любой реальный нере­курсивный фильтр является и КИХ-фильтром. Рекурсивные фильтры, как правило, есть БИХ-фильтры, однако возможно построение рекурсивных фильтров, представляющих собой КИХ-фильтры.