14.5. Точность цифровых фильтров. Источники погрешностей в цифровых фильтрах и их оценка

В реализованном цифровом фильтре выходной сигнал отличается от теоретически ожидаемого вследствие наличия специфических по­грешностей, обусловленных операциями дискретизации и квантования, выполняемых в процессе обработки аналогового сигнала. В цифровых фильтрах входной и выходной сигналы являются последовательностью чисел, представляемых с конечной точностью, которая определяется числом разрядов вычислительного устройства, выполняющего обработку входного сигнала. Это приводит к появлению особого рода погрешностей, отсутствующих в аналоговых или дискретных устройст­вах. Источниками этих погрешностей являются следующие факторы: квантование отсчетов входных сигналов, неточные (округленные) зна­чения параметров (коэффициентов) фильтров, округление или усечение результатов промежуточных вычислений, а также так называемые предельные циклы низкого уровня сигнала, поясняемые ниже. Кроме того, вследствие конечной длины регистров в некоторых случаях в цифровых фильтрах может возникать переполнение. Суммарная по­грешность обработки сигналов, а следовательно, и точность цифровых фильтров зависят от многих факторов: формы (канонической, прямой, параллельной и т. п.) реализации фильтра, способа представления чи­сел в вычислительном устройстве, вида фильтра (рекурсивный или не­рекурсивный), характера входного сигнала и т. д.

Анализ погрешностей, вызванных всеми указанными факторами, является одним из самых сложных вопросов теории цифровых фильт­ров. Здесь мы ограничимся лишь краткой характеристикой различных погрешностей, возникающих в цифровых фильтрах. Более подробное изложение этих вопросов можно найти в специальной литературе.

Поскольку погрешности цифровых фильтров зависят от способа представления чисел в вычислительном устройстве, напомним, что при­меняют два таких способа: с фиксированной запятой и плавающей запя­той. В универсальных ЦВМ и специализированных устройствах для представления чисел, как правило, используют двоичную систему. По­этому число представляют последовательностью двоичных разрядов, в которой запятой отделяют цифры целой и дробной частей числа. В сис­теме с фиксированной запятой положение двоичной запятой во всех регистрах фиксировано. Недостатком такой системы является неболь

шой диапазон представления чисел. Вместе с тем такие устройства про­ще по структуре, легче поддаются анализу.

В системе счисления с плаваю­щей запятой положительное число Fпредставляется в виде произве­дения двух чисел: F= 2^cМ, где М—мантисса, с — порядок, ко­торый может быть положительным,

или отрицательным. В устройствах, использующих числа с плаваю­щей запятой, диапазон представления чисел практически неограни­чен, однако анализ погрешностей квантования в них значительно сложнее. Так, например, значение погрешности округления зависит не только от числа разрядов, но и порядка округляемого числа. Поскольку в цифровых фильтрах числа, как правило, представляют с фиксированной запятой, далее будут рассмотрены погрешности, возникающие в цифровых фильтрах, использующих данный способ представления чисел.

Анализ погрешностей является очень важным этапом проектиро­вания цифрового фильтра, поскольку на его основе выбирают число разрядов регистров, используемых для представления чисел и выпол­нения арифметических операций.

Погрешности, связанные с квантованием входного сигнала, усе­чением или округлением результатов арифметических операций, как правило, анализируют на основе модели цифрового фильтра с введен­ными в нее источниками погрешностей, называемыми шумамиок­ругления или квантования. На рис. 14.10 приведена такая модель для нерекурсивного фильтра (см. рис 14.2, а), на рис. 14.11 — для ре­курсивного (см. рис. 14.6). На этих рисунках квантованный сигнал x(kT) на входе цифрового фильтра представлен в виде суммы дискретизированного неквантованного сигнала (kT) и шума квантования е₍₎(kT) (шума АЦП), е_ji (kT) — погрешность на выходе j-го сумматора,

к которому подключен соответст­вующий i-й источник шума, возни­кающего в результате выполнения операции умножения на соответст­вующую константу (a_iили b_i). Если к j-му сумматору подключено не­сколько источников шума е_ji(kT), то их можно заменить одним экви­валентным источником _j(kT) (рис. 14.12).

На основе такой модели оценка диапазона изменения выходного шума фильтра е_в(kT) может быть получена из выражения

— составляющая, обусловленная 1-м источником.

Одним из источников погрешности обработки сигналов в цифровом фильтре является квантование значений выборок входного сигнала АЦП. Погрешность квантования входного сигнала проявляется в виде шума на выходе фильтра. Шум квантования представляет собой после­довательность дискретных значений е₀(kT), не превышающих по мо­дулю половины шага квантования∆, связанного с числом разрядов АЦП r соотношением ∆=2^-r.Поскольку фильтр линейный, прохожде­ние через него сигнала и шума квантования можно рассматривать независимо друг от друга. При определении выходного шума фильтра, обусловленного погрешностью, вносимой АЦП, предполагают, что расчет фильтра выполняют точно, без погрешности округления (усе­чения), т. е. учитывают только один источник выходного шума — шум квантования.

Один из возможных методов оценки диапазона изменения выходно­го шума рассмотрим на примере нерекурсивного фильтра, представлен­ного моделью (см. рис. 14.9). Рассматривая прохождение шума кван­тования через фильтр, можно сказать, что каждое дискретное значение е₀(kT) вызывает на выходе фильтра реакцию е_0В(kT), которую в со­ответствии с формулой (14.3) можно представить следующим образом

Так как величина e₀(kT) ограничена и не превышает половины шага квантования, можно написать, что

где ξ=2прииспользовании округления и ξ = 1 в случае применения усечения при представлении чисел на выходе АЦП. Тогда с учетом вы­ражения (14.23) можно считать, что

Или

гдеG (kT)— импульсная реакция цифрового фильтра.

Для фильтра с импульсной характеристикой бесконечной длины на основании формулы (14.25) можно написать:

14.26

Очевидно, что выражение для выходного шума фильтра, вызван­ного квантованием выборок входного сигнала, не зависит от струк­туры фильтра, поскольку шум квантования проходит через весь фильтр. Подставив в формулу (14.26) выражение (14.24), можно получить оценку диапазона изменения выходного шума цифрового фильтра, обусловленную квантованием выходного сигнала, в виде

Из последнего выражения может быть определено число разрядов АЦП, необходимое для представления выходного сигнала с требуемой точностью:

где int(В) означает наименьшее целое число, не меньшее числа В. Определение числа разрядов АЦП является очень важным моментом построения цифрового фильтра, поскольку при большом значении гпрактически невозможно или экономически нецелесообразно реали­зовать АЦП.

Погрешность, вызванная округлением или усечением результатов промежуточных вычислений, является следствием конечной длины ре­гистров арифметических устройств. В вычислительных устройствах, использующих представление чисел с фиксированной запятой, сложе­ние чисел не увеличивает число разрядов, необходимое для представ­ления результата. Однако при каждом умножении число разрядов должно возрастать, и поэтому возникает необходимость округления. Таким образом, каждое умножение приводит к погрешности, экви­валентной шуму квантования, и следовательно, число источников шума цифрового фильтра равно числу умножений, необходимых для полу­чения выходного сигнала. Поскольку это число при различных реали­зациях фильтра может отличаться, данная погрешность в значитель­ной степени зависит от фильтра (рекурсивный или нерекурсивный), формы его реализации (каноническая параллельная или иная), а так­же порядка фильтра. Наиболее просто погрешность, вызванная округлением или усечением результатов промежуточных вычислений, мо­жет быть определена для нерекурсивных фильтров. При этом, как правило, полагают, что разрядности регистров в умножителях и сум­маторах равны г_14Утогда, например, в соответствии с рис. 14.7 можно считать, что

при этом по аналогии с выражением (14.24)и следовательно,

Из последнего выражения можно определить необходимое число раз­рядов для представления выходного сигнала с требуемой точностью по аналогии с выражением (14.28). При рекурсивной реализации цифрово­го фильтра (см. рис. 14.11) составляющие шума от разных источников (умножителей) проходят на выход непосредственно и через петли об­ратной связи. Поэтому диапазон изменения выходного шума, обуслов­ленного данной погрешностью, определяется более сложными выра­жениями, зависящими от структуры фильтра. В процессе проектиро­вания цифрового фильтра при выборе формы реализации, позволяю­щей выполнять требования к точности в каждом конкретном случае, погрешности рассчитывают аналогично рассмотренному ранее. Ре­зультаты более глубокого анализа шумов округления дают основания сделать вывод, что в большинстве случаев меньший уровень шумов обеспечивает каскадная форма реализации фильтра.

Погрешность, вызванная неточными значениями постоянных пара­метров (коэффициентов) фильтра, также является следствием ограни­ченного числа разрядов регистров, предназначенных для хранения значений коэффициентов. Поэтому полученные в результате расчета значения коэффициентов приходится округлять.

В результате этого фактические параметры фильтра несколько отли­чаются от расчетных. Погрешности такого рода играют наибольшую роль в рекурсивных фильтрах, где осуществляют многократные умно­жения на константы. Поэтому в процессе разработки цифровых фильт­ров обязательно исследуют влияние неточности параметров. Особен­но это важно для фильтров высоких порядков, где такое влияние мо­жет быть очень значительным. Поэтому обычно стараются такие фильт­ры заменить параллельным или каскадным соединением звеньев пер­вого или второго порядка.

Ограничение числа разрядов регистров цифрового фильтра явля­ется источником специфических процессов на выходе фильтра, назы­ваемых предельнымицикламинизкогоуровня сигнала. Это явление возникает на выходе фильтра вследствие округления результатов вычисления при малом входном сигнале. Поясним это на примере. Рассмотрим рекурсивный фильтр первого 326 порядка, описываемый разностным уравнением: у (kT)=х(kT)—0,9 у(kT—Т). Пусть на входе этого фильтра действует сигнал:

Если результаты вычислений не округляются, то на выходе фильтра получается последовательность +10; —9; +14,1; —7,29; +6,561; —5,14949; +4,14054; —4,324146 ... Абсолютные значения выходного сиг­нала убывают, стремясь к нулю. При округлении результатов, напри­мер до целочисленных значений на выходе фильтра возникает последо­вательность + 10;— 14; +14;—7; +6;—5; +5; —5;+; 5—5 ... Через вре­мя 57 после подачи входного сигнала на выходе фильтра устанавлива­ются периодические колебания, амплитуда которых в данном случае равна 5.

Такое явление очень нежелательно, так как оно приводит к появле­нию паразитных колебаний на выходе фильтра, уровень которых может значительно превысить уровень шума квантования. Предельные циклы обычно возникают с прекращением действия сигнала на выходе фильт­ра. Поэтому существование таких циклов следует учитывать при раз­работке систем передачи, в входных сигналах которых могут наблю­даться паузы. Анализ предельных циклов низкого уровня весьма сло­жен вследствие зависимости этого режима фильтра от структуры и формы реализации.

Кроме предельных циклов низкого уровня, в цифровых фильтрах могут возникать сильные колебания предельногоцикла, обусловленные переполнением. Это вызывает появление значительных погрешностей на выходе фильтра и даже может привести к периодичес­кому изменению выходного сигнала фильтра между предельными зна­чениями максимальной амплитуды. Такие предельные циклы называют колебаниями переполнениядля их устранения в схему фильтра вводят так называемые масштабные множители, нормирующие входной сигнал так, чтобы избежать эффекта переполнения регистров цифрового фильтра.

Все рассмотренные выше погрешности являются следствием ограни­ченного числа разрядов регистра, используемых для представления входного сигнала, выполнения арифметических операций и т. д. По­этому для уменьшения этих погрешностей следует увеличивать число разрядов чисел, обрабатываемых фильтром. Однако это приводит к усложнению фильтров, что может сделать их применение экономически неоправданным или технологически неосуществимым. Поэтому прак­тически цифровые фильтры реализуют на основе компромиссных ре­шений, выбирая соответствующую структуру фильтра и число разря­дов регистров вычислительного устройства, которые обеспечивают вы­полнение требований, предъявляемых к точности обработки сигналов цифровыми фильтрами.