Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matematika (1)

.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
127.02 Кб
Скачать

2 Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящимся к х0, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d ( зависящее от e), что для всех х , не равных х0 и удовлетворяющих условию

| х- х0 | < d,

верно неравенство:

| f(x)А | < e

Этот предел функции обозначается:

Число А называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число S ( зависящее от e), что для всех х таких, что |х| > S, верно

неравенство: |f(x)–А|<e|

Этот предел функции обозначается:

  • 3 Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.

  • Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

  • Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е

  • .

  • Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

  • Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.

  • Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

4

  • Определение 1. Функция ¦(х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

  • 1) определена в точке х0 (т.е. существует ¦(х0));

  • 2) имеет конечный предел функции при х ® х0;

  • 3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.

  • Определение 2. Функция у =¦(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

  • Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух функций непрерывных в одной и той же точке а, есть функция непрерывная в той же точке, причем в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а. (Теорема остается верной для суммы и произведения любого конечного числа функций).

  • Функция у = ¦(х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

  • Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

5

  • Точка х0, в которой функция ¦(х) не является непрерывной называется точкой разрыва.

  • Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х ® х0, не равные друг другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х0.

  • Обозначим

  • а) , в этом случае функция имеет скачок

  • б) ,но не равно значению функции в точке х0 , имеем устранимый разрыв. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

6

  • Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.

  • Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

  • Функция дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

7

  • Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f(x0)=0.

  • Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

непрерывна на [a,b];

дифференцируема на [a,b];

на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f(ε)=0).

  • Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

непрерывна на [a,b];

дифференцируема на [a,b].

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.

13

  • Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается ò f (х) dx , где ò - знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. (ò f (х) dx) ¢= f (х).

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d (ò f (х) dx) = f (х) dх.

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

ò dF(x) =F(x) + C.

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. ò [f (х) + g (x)] dx =ò f (х) dx + ò g (х) dx.

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. ò a f (х) dx =a ò f (х) dx.

15

Интегрирование методом разложения.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы или других методов.

Например ò (х3 + 3sinx – 8) dx = ò х3 dx + 3òsinx dx – 8òdx =< используя формулы из таблицы>= х4/4 - 3 cos x – 8 х + С.

Интегрирование методом замены переменных.

Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g¢( z)dz. Поэтому

ò f(х) dx = ò f [g(z)] g¢( z)dz = Ф (z) +С = Ф [g-1(х)] + С.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:

ò udv = uv - ò vdu.

Интегрирование рациональной дроби

Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x2+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p2/4>0.

При этом справедлива следующая теорема: Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

17

  • Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина равная 2а.

  • F1(c,0), F2(-c,0) – фокусы эллипса. A1(a,0),A2(-a,0), B1(0,b), B2(0,-b) – вершины эллипса

18

  • Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная равная

  • Фокусы гиперболы обозначим через F1 и F2, а расстояние между ними - через 2с

19

  • Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

  • y2=2px - каноническое уравнение параболы

22

или, в сокращенной записи А=( аij) i=1.. m; j=1.. n

Две матрицы А и В одного размера mхn называются равнымиесли они совпадают поэлементно,

т.е. аij =bij для всех i=1.. m; j=1.. n.

Классификация матриц

  • Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом.

  • Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n.

  • Элементы матрицы аij, у которых i = j называются диагональными элементами и образуют главную диагональ.

  • Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной .

  • Единичной, называется диагональная матрица, элементы которой равны единице.

  • Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали,равны, т.е.

  • Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю

23операции над матрицами

  • Умножение матрицы на число.

  • Произведением матрицы А на число λ называется матрица ВА, элементы которой bijаij для всех i=1… m; j=1… n.

  • Сложение матриц.

  • Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С=А+В, элементы которой сij ij+ bij для всех i=1… m; j=1…n.

  • Вычитание матриц.

  • Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: АВ = А + ( −1 )∙В.

  • Умножение матриц.

  • Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

  • Целой положительной степенью Аm квадратной матрицы А называется произведение m матриц А, т.е. Аm = А ∙А∙ …∙А

  • Транспонирование матрицы.

  • Транспонированием матрицы называется переход от матрицы А к Ат (или А'), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Ат – называется транспонированной относительно матрицы А.

24

  • Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы.

  • Определителем матрицы первого порядка А=(а11) или определителем первого порядка называется элемент а11. Обозначается Δ1 = а11 илиА= а11.

  • Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ2 = А= а11а22а12а21 .

  • Определителем матрицы третьего порядка

или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Δ3 = А= а11а22 а33+а12а23а31+а21а32а13а31а22а13

а12а21а33а32а23а11.

Свойства определителей

  • 1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.

  • 2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ.

  • 3. При транспонировании матрицы её определитель не изменится.

  • 4. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

  • 5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.

  • 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

  • 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.

  • 8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: АВ=А││В.

25

  • Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1А = АА-1 = Е.

  • Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при А=0 ) – вырожденной, или особенной .

1. Находим определитель исходной матрицы.

2.Если А=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А-1 не существует.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.

3. Находим АT, транспонированную к А.

4. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу . 5. Вычисляем обратную матрицу по формуле: 6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А-1А = АА-1 = Е.

  • 28

  • В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где kmin(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

  • Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

  • Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).

  • Из определения следует:

  • 1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).

  • 2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.

  • 3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

  • В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

  • 1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

  • 2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

  • 3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

  • 4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

  • 5) Транспонирование матрицы.

  • Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

31

  • Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а её определитель Δ=Аназывается определителем системы.

  • Предположим, что Ане равен нулю, тогда существует обратная матрица А-1.

  • Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А-1 получим:

  • А-1 (АХ)= А-1 В.

Решением системы уравнений методом обратной матрицы будет матрица-столбец:

Х= А-1В.

(А-1 А)Х =ЕХ =Х

  • Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δj – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:

где j=1..n.

33

  • Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида.

  • Рассмотрим матрицу:

  • эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

26

  • N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х1,х2,…хn) , где хii-я компонента вектора Х.

  • Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Х=У, если xi=yi, i=1…n.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку