Kinetika_yadernykh_prevrascheny

казано, что при переходе от металлического Ве к BeF2 величина / умень-

шилась на 0,08% [1].

Японские исследователи выполнили обратный эксперимент – определили период полураспада ядер 7Ве, имплантированных в полости фуллеренов С60 с помощью реакции 7Li(p,n)7Be . Электронная плотность в области таких ядер увеличилась. Следовательно, период полураспада для процесса К-захвата должен уменьшиться, по сравнению с ядрами металлического бериллия. Действительно, период полураспада имплантированных ядер оказался равным 52,68 + 0,05 суток. Относительное изменение периода полураспада составило 0,83% [2]. Следует отметить, что полученный эффект оказался на порядок выше, чем в опытах Э. Сегре.

1.1.7. Среднее время жизни ядра

При обсуждении радиоактивного распада может возникнуть вопрос о том, возможно ли указать точный момент распада конкретного ядра. Корректный ответ можно получить лишь при условии, что речь идет не об отдельных ядрах, а о совокупности большого числа ядер.

Имеется специальный статистический показатель, называемый средней продолжительностью жизни или средним временем жизни, который позволяет предсказать, сколько времени в среднем существуют ядра данного нуклида. Однако, невозможно точно указать, какие именно ядра доживут до среднего возраста.

Среднее время жизни ядер ( ) определяется как отношение суммы времен существования всех ядер, имеющихся в системе, к исходному числу ядер.

Выведем аналитическое выражение для вычисления . Пусть исходное число ядер равно N0. Выберем любой бесконечно малый промежуток времени от t до t+dt и обозначим число ядер, распавшихся в течение этого промежутка, dN. Вычислим суммарное время жизни распавшихся ядер. Параметр dN можно трактовать как число ядер, доживших до момента времени t, считая от начала отсчета, и распавшихся в течение промежутка времени dt. Следовательно, суммарная продолжительность жизни рассматриваемых ядер равна произведению

dN t .

11

Суммарную продолжительность жизни всех ядер, имеющихся в системе,

	dN t
можно описать интегралом		.

Среднее время жизни, согласно определению, равно:

	dN t
		.	(18)
	N0

Заменим в выражении (18) параметр (– dN) произведением N(t)dt , согласно уравнению (5):

t N (t)dt

			.		(19)
	N0
Отношение		N (t)		заменим на е t , в соответствии с (11).
		N0

Подставив соответствующие пределы интегрирования, приходим к выражению:

	t			t
	t e t dt t e t dt .				(20)
	t 0			t 0
	t
Интеграл t e t dt				эквивалентен табличному интегралу вида:
	t 0
x eaxdx		eax	ax 1 .		(21)
		a 2

Интегрирование уравнения (20) с учетом (21) приводит к следующему результату:

e t

t

e t

( t 1)

t e

2

e t ( t 1)

t 1

t

.

(22)

e

Прежде, чем подставлять пределы интегрирования, проанализируем полученное выражение. В числитель и знаменатель дроби входит t, поэтому при подстановке верхнего предела, равного бесконечности, дробь, на первый

12

взгляд, обращается в 1. Однако, в знаменателе дроби t входит в показатель экспоненты, которая стремится к бесконечности быстрее, чем линейная функция в

числителе дроби. Таким образом, при t = ∞ выражение	t 1	обращается в
	e t

нуль.

Учитывая вышесказанное, подставим в выражение (22) пределы интегрирования и получим конечный результат:

t 1

te 0

	1			0 1			0	1			1
		e		1							.		(23)

Таким образом, средняя продолжительность жизни ядра – это величина обратная постоянной скорости радиоактивного распада. Величина измеряется в единицах времени.

Найдем, во сколько раз изменяется число нераспавшихся ядер за время . Подставим в уравнение (11) t = :

N	e	e 1	1
			e .	(24)
N0

Мы видим, что по истечении промежутка времени, равного средней продолжительности жизни ядра, исходное число ядер уменьшается в e раз.

Среднее время жизни ядра связано с периодом полураспада радионуклида выражением:

		T1/ 2		Т1/ 2		1,44 T1/ 2 .	(25)
		ln 2		0,693

Из выражения (25) следует, что среднее время жизни ядра всегда больше периода полураспада радионуклида примерно в 1,44 раза.

Пример 5. Средняя продолжительность жизни свободного нейтрона 18,5 минут. Определить его период полураспада.

Выразим из уравнения (25) Т1/2 и подставим данные:

T1/ 2 ln 2 18,5 0,693 12,8 минут .

13

1.1.8. Разветвленный распад

Некоторые радионуклиды распадаются двумя или даже тремя способами. Примерами являются 40К и 212Bi, схемы распада которых представлены на рис. 2 (а, б).

Bi

α6208	60.6min
KeV;		-	2252
36%		β
		KeV;64

%

l

Рис. 2. Схемы радиоактивного распада нуклидов:
а) 40К	б) 212Bi.

Распад одного нуклида, осуществляемый несколькими способами (или, что то же самое, по нескольким каналам), называется разветвленным.

Схема разветвленного распада представлена в общем виде на рис. 3.

Рис. 3. Схема разветвленного распада радионуклида

Каждому способу распада соответствуют различные вероятности ( 1 и 2), измеряемые в % и называемые квантовыми выходами, и различные константы скорости радиоактивного распада по каждому из каналов: 1 и 2.

Обсудим особенности кинетики разветвленного радиоактивного распада. Скорость радиоактивного распада нуклида А можно описать двумя кинети-

ческими уравнениями:

14

	dN А (t)	N		(t)
			А
	dt	1		(26)
и

dN А (t)

2

N А (t)

dt

(27)

Суммарному процессу соответствует уравнение:

dN А (t)

N

(t) N

(t) N

(t) ( ) N

(t)

dt

1

А

2

A

A

1 2

A

,

(28)

где 1 и 2 - парциальные константы скорости радиоактивного распада,- суммарная величина.

Величины парциальных постоянных распада связаны с квантовыми выходами и вычисляются по формуле:

i
				i	.	(29)
		100

Подобно парциальным постоянным скорости распада, можно ввести парци-

альные периоды полураспада.

Допустим, что радиоактивный распад осуществляется по i каналам. Период полураспада нуклида связан с и i следующим выражением:

Т1/ 2 =	ln2	=	ln2
			( + +...+ )		.
		1 2		i

Чтобы получить парциальные периоды полураспада, преобразуем это вы-

ражение следующим образом:

1

( + + ... + )

=

=

1

2

i

=

T

ln2

ln2

1/ 2

=

1

+

2

+ ... +

i

=

1

+

1

+ ... +

1

ln2

T

T

T

ln2

ln2

(1/ 2)

(1/ 2)

2

(1/ 2)

i

1

или

(30)

1

= ∑ 1

i

T1/ 2

1

T(1/ 2)i

Парциальные периоды полураспада вычисляют, исходя из величин Т1/2 и i, полученных экспериментальным путем.

15

Пример 6. Радионуклид 64Cu испытывает ядерные превращения трех видов: электронный захват, испускание позитронов и испускание электронов. Чему равна вероятность позитронного распада 64Cu? Константы скорости превраще-

	ний по каждому из каналов равны:					0,009497час 1 ,							0,02129час 1		,
	ЭЗ 0,02380час 1 .
	Преобразуем формулу (29) к виду:				i		i 100	и подставим соответствую-
	щие данные:
		100			0,9497							0,9497		17,4 %..
		( ЭЗ )		0,009497 0,02129 0,02380							0,05459

Полученное значение согласуется с экспериментальными данными.

1.1.9. Активность

Термином «активность» принято называть величину радиоактивности препарата. Активность показывает число ядерных превращений, происходящих в радиоактивном препарате в единицу времени. Понятно, что активность равнозначна скорости радиоактивного распада и может быть записана следующим выражением:

A	dN (t)	N
			(31)
	dt	.

Как следует из уравнения (31), величина активности рассчитывается на основе дифференциальной формы закона радиоактивного распада. Поскольку активность пропорциональна количеству вещества, то выражение (31) можно переписать следующим образом:

	A	m	N А		ln 2 m N A
		M			T1/ 2 M ,		(32)

где m – масса радионуклида, М – молярная масса радионуклида, NA – число Авогадро.

Активность газообразных веществ пропорциональна их объему:

A	V	N A
	Vm		,	(33)

где V – объем газообразного радионуклида, Vm – молярный объем. Различают абсолютную и относительную активности.

16

Абсолютная активность (Аабс.) показывает истинное число ядерных превращений, происходящих в образце в единицу времени:

A	N превращений/ед. времени	.	(34)
абс.

Относительная активность (Аотн.) показывает число ядерных превращений, которое регистрируется счетной установкой:

A	с N с А	зарегистри рованных импульсов/ед. времени	,	(35)
отн.	абс.

где с – коэффициент регистрации, показывающий долю частиц, регистрируемых данным детектором.

Поскольку с < 1, то относительная активность всегда меньше абсолютной в с раз.

Следует обратить внимание на различные размерности абсолютной и относительной активностей. Относительная активность всегда выражается числом откликов детектора за единицу времени. Например, имп/с, имп/мин и т.д. Абсолютная активность показывает полное число ядерных превращений за единицу времени и измеряется в единицах радиоактивности (см. п. 1.1.10.).

Абсолютная и относительная активности изменяются во времени по закону радиоактивного распада:

A(t) A e t		(36)
0	,
где А(t) и А0	- активности образца в моменты времени t и 0, соответственно.

1.1.10. Единицы радиоактивности

В системе СИ единицей радиоактивности является Беккерель (русское обозначение - Бк, международное - Bq). Данная единица названа в честь первооткрывателя явления радиоактивности Антуана Анри Беккереля2).

Беккерель имеет размерность обратной секунды: Бк = с-1.

1 Беккерель равен активности радионуклида в источнике, в котором за одну секунду происходит одно ядерное превращение.

Беккерель — очень маленькая единица измерения. Активности многих источников, используемых на практике, значительно превышают 1 Бк, поэтому часто используют кратные единицы:

2) Антуан Анри Беккерéль (15 декабря 1852 г. — 25 августа 1908 г.) — французский физик, первооткрыватель явления радиоактивности, лауреат Нобелевской премии по физике 1903 г. (совместно с Марией и Пьером Кюри).

17

килоБеккерель (кБк, kBq) = 1000 Бк, мегаБеккерель (МБк, MBq) = 1 млн. Бк, гигаБеккерель (ГБк, GBq) = 1 млрд. Бк и т.д.

В редких случаях используются дольные единицы (милли- и микроБеккере-

ли).

Наряду с системной единицей Бк, до сих пор используется внесистемная – Кюри (русское обозначение Kи, международное - Ci), названная в честь Марии Кюри3).

За единицу радиоактивности 1 Кюри принята абсолютная активность 1 г 226Ra (T1/2 = 1620 лет), которую можно вычислить с помощью формулы (32):

А226Ra	ln 2				m	N A	ln 2		1	6,02 1023 3,7 1010 Бк ,
	T		M				1620 365 24 60 60		226
	1/ 2 226	Ra

где m – масса радия, М – молярная масса 226Ra, NA – число Авогадро. Таким образом, 1 Кюри = 3,7.1010 Бк. (37)

Прочесть это равенство следует так: одно кюри равно 3,7.1010 беккерелей. Кюри, в отличие от Бк, очень большая единица измерения, поэтому на

практике часто пользуются дольными единицами: микроКюри (мкКи) = 1.10-6 Kи = 3,7.104 Бк, миллиКюри (мКи) = 1.10-3 Kи = 3,7.107 Бк и т.д.

Кратные единицы применяются лишь при оценке крупных техногенных катастроф. Например, при аварии на Чернобыльской АЭС суммарная активность веществ, выброшенных в окружающую среду, составила, по различным оценкам, примерно 380 МКи или 1,4 · 1019 Бк.

Пример 7. Найти массу, соответствующую активности 1 Кюри для 60Со

(Т1/2 = 5,27 лет).

Преобразуем формулу (32) к виду:

3) Мария Склодо́вская-Кюри́(7 ноября 1867 г. — 4 июля 1934 г.) — польско-французский учёный – экспериментатор в области физики и химии. Дважды лауреат Нобелевской премии: по физике 1903 г. (совместно с А. Беккерелем и П Кюри) и по химии 1911 г., первый дважды нобелевский лауреат в истории.

18

m	A M T1/	2	.	(38)
	ln 2 N A

Выразим активность радионуклида в Бк, в соответствии с соотношением (37), а период полураспада – в секундах и подставим соответствующие значения в формулу (38):

m 3,7 1010 60 5,27 365 24 60 60 8,84 10 4 г. 0,693 6,02 1023

Пример 8. Активность изотопа 137Cs (Т1/2 = 30 лет) после выгрузки отработавшего ядерного топлива из реактора составляет 3,7.1016 Бк. Сколько времени надо хранить радиоактивные отходы, чтобы активность этого нуклида упала до величины 1 мКюри?

Для решения задачи воспользуемся уравнением (36). Преобразуем его и вы-

разим отношение

t

:

T1/ 2

A(t)

1

t T1/ 2

,

2

A0

A(t)

t

1

t

ln 2

0,693T

,

ln

A

T

0

1/ 2

1/ 2

A(t)

t

ln

A0

A(t)

1,44

0,693

T

ln

A

.

1/ 2

0

Выразим активность в Бк и подставим данные в полученное выражение:

t

3,7 10

7

1,44

ln

29,8

.

T

3,7 1016

1/ 2

Отсюда,

t 29,8 30 895 лет.

Ответ: отходы 137Cs следует хранить примерно 900 лет, чтобы их активность снизилась до заданного уровня.

19

1.1.11. Молярная, удельная, поверхностная и объемная активности

Молярная активность источника Аn – отношение активности А радио-

нуклида в источнике (образце) к числу молей n вещества (соединения), содержащего данный радионуклид:

An =	A	.	(39)
	n

В системе СИ единицей молярной активности источника является 1 Беккерель на моль (Бк/моль). Кратные единицы: кБк/моль, МБк/моль, ГБк/моль, МБк/ммоль, ГБк/ммоль и т.д.

Удельная активность источника Ауд. – отношение активности А радио-

нуклида в источнике (образце) к массе m источника (образца) или к массе элемента, соединения:

	Aуд.	A
		m .		(40)
	В системе СИ единицей измерения удельной активности является			1 Бекке-
	рель на килограмм (Бк/кг). Кратные единицы: кБк/кг, МБк/кг и т.д.

Поверхностная активность источника АS – отношение активности А ради-

онуклида в источнике (образце), распределенной на поверхности источника, к

площади S этой поверхности:
AS =	A	.	(41)
	S
Единицей поверхностной			активности источника в системе СИ является

1 Беккерель на квадратный метр (Бк/м2).

Объемная активность источника Аоб. – это отношение активности А ради-

онуклида в источнике (образце) к его объему V:

Aоб. A

V . (42)

Единица объемной активности в системе СИ – 1 Беккерель на кубический метр (Бк/м3).

Единица Бк/м3 крайне неудобна для характеристики объемной активности радиоактивных жидкостей, применяемых в промышленности и для научных исследований. К примеру, объемная активность радиофармацевтических препара-

20