Kinetika_yadernykh_prevrascheny

1.2.3. Определение периодов полураспада ультракороткоживущих радионуклидов

Периоды полураспада ультракороткоживущих радионуклидов лежат в диапазоне от 10-4 до 10-11 с. Для прямого измерения таких малых промежутков времени применяется специальный экспериментальный метод – метод запаз-

дывающих совпадений.

Суть метода заключается в измерении временнóй задержки между двумя последовательными актами излучения. Для этого используют специальную электронную схему, которая срабатывает только в случае одновременного прихода двух сигналов, и не срабатывает, если сигналы приходят порознь. Например, при распаде материнского вещества в детектирующее устройство поступает электрический импульс. Он задерживается с помощью электронной схемы на время tз1 и затем регистрируется в совпадении с какой-либо частицей, испускаемой дочерним веществом, и также вызывающей импульс в детекторе. Затем устанавливают другое время задержки tз2 и определяют число совпадений и т.д. В результате получают зависимость скорости счета совпадений от времени задержки. Вид этой зависимости, представленный на рис. 7, полностью аналогичен кривой радиоактивного распада. Периоды полураспада определяют способами, рассмотренными в п.1.2.2.

Рис. 7. Определение периода полураспада радионуклида методом запаздывающих совпадений

31

1.2.4. Определение периодов полураспада -излучателей по уравнению Гейгера-Неттола

Взаимосвязь между энергией α-частиц и периодом полураспада радионуклида впервые установил Э. Резерфорд4) в 1906 году: чем выше энергия излучаемых -частиц, тем меньше период полураспада -излучателя.

В 1911 году Г. Гейгером5) и Дж. Неттолом6) было получено полуэмпирическое уравнение, связывающее постоянную скорости распада с пробегом - частицы в воздухе (R):

lg A lg R B ,

(52)

где А – постоянная величина, В – коэффициент, индивидуальный для каждого радиоактивного семейства.

Пробег α-частицы, в свою очередь, связан с ее скоростью и кинетической энергией следующим выражением:

R a v3		E3	/ 2			E3 / 2
	a				a		,	(53)
		m
					1

где а и а1 - постоянные величины, v – скорость -частицы, Еα – энергия - частицы, m - масса -частицы.

Подставим уравнение (53) в (52) и заменим выражением (14):

lg ln 2 A lg a1E 3/ 2 B

T1/ 2

lg(ln 2) lgT			A lg a		A lg E	3/ 2 B
		1/ 2	1
lgT		A lg E 3/ 2 A lg a B lg(ln 2) A lg E					3/ 2	B
1/ 2					1			1
lgT1/ 2 A1 lg E B1
4) Эрнест	Резерфорд (E. Rutherford) (30					августа 1871 г. - 19	октября 1937 г.) - англий-
		́

ский физик новозеландского происхождения. Первооткрыватель - и - излучения. Лауреат Нобелевской премии по химии 1908 г.

5)Ганс Вильгельм Ге́йгер (H. Geiger), (30 сентября 1882 г. - 24 сентября 1945 г.) - немецкий физик, первый создатель детектора ионизирующих излучений, названного его именем.

6)Джон Митчел Не́ттол (J. Nuttall) (21 июля 1890 г. - 28 января 1958 г.) – английский физик. Широко известен своей работой с Гансом Гейгером, результатом которой стал закон Гейгера-Неттола. Награжден премией Манчестерского университета в 1911 году.

32

10 2,53

T1/ 2

lgT1/ 2

21184 Po дают значение 0,005

T1/ 2 10 A1 lgE B1 ,

(54)

где А1 и В1 – постоянные величины.

Согласно уравнению (54), увеличение энергии альфа-излучения приводит к уменьшению периода полураспада радионуклида.

Закон Гейгера-Неттола подтвержден теоретически. Моделирование процесса альфа-распада с помощью квантовой механики приводит к следующему выражению:

lgT	= C +	D	= C + 1,454 Z ,	(55)
1/ 2		E	E

где С и D – коэффициенты, причем D зависит от порядкового номера элемента.

Величины коэффициентов С и D получены с помощью вычислений. Их значения различаются для четно-четных, четно-нечетных (нечетно-четных) и нечетно-нечетных ядер. Если подставить в уравнение (55) энергию α-частиц в МэВ, то период полураспада нуклида будет выражаться в секундах.

Например, энергия альфа-излучения нуклида 21184 Po равна 7,6 МэВ. Вычислим период полураспада этого нуклида, приняв С = – 46,83 [4].

Подставим данные в уравнение (55):

46,83 1,454 84 2,53. 7,6

0,003c.

Другие методы определения периода полураспада с, которое согласуется с вычисленным.

Необходимо подчеркнуть, что данный метод определения периодов полураспада применим только к α-излучателям, входящим в состав естественных радиоактивных семейств.

1.3. Закономерности накопления нуклидов при последовательных радиоактивных превращениях

Радиоактивный распад любого нуклида приводит к образованию других нуклидов, причем продукты распада могут быть как стабильными, так и радиоактивными. Если дочерние нуклиды радиоактивны, то возникает последова-

33

тельность радиоактивных превращений, которая может включать несколько стадий.

В данном разделе будут рассмотрены закономерности изменения числа ядер дочерних нуклидов во времени.

1.3.1. Одностадийные превращения.

Накопление стабильного дочернего нуклида

Рассмотрим систему, состоящую из двух нуклидов – радиоактивного материнского А и стабильного дочернего В. Такая система представлена на схеме (1)

в п. 1.1.1.

Выведем уравнение, описывающее изменение числа ядер нуклида В во времени. Допустим, что при t = 0 в системе было N0 ядер нуклида А, а ядра нуклида В отсутствовали. По истечении промежутка времени t распались х ядер нуклида А и, соответственно, образовалось столько же ядер нуклида В. Число сохранившихся ядер А равно (N0 – x). В данной системе скорости распада ядер нуклида А и накопления ядер В равны между собой:

	распадаА vнакопления В	dх	A N0 - x .	(56)
		dt
	Уравнение (56) представляет собой			дифференциальную форму закона

накопления стабильного нуклида.

Решение этого уравнения имеет вид:

ln (N0 x) A t .

N0

Выразим х из уравнения (57): x N0 (1 e A t ) .

(57)

(58)

Обозначим число ядер нуклида В, образовавшихся к моменту времени t, символом NB(t) и перепишем уравнение (58) в виде:

NB (t) N0 (1 e A t ) .

(59)

Уравнение (59) представляет собой интегральную форму закона накопления стабильного нуклида.

Преобразуем уравнение (59) следующим образом:

34

NB (t) N0 (1 e A t ) N0
	1 e

N			1	t /T1/ 2( A)
	0	1
			2

ln2

T1/ 2( A)

t

. (60)

Уравнение (60) наглядно показывает какое количество нуклида В (в долях или процентах) накапливается через интервалы времени кратные периоду полураспада нуклида А. Например, если t = T1/2(А), то NB (t) N0 2 , что составляет 50% от максимально возможного количества, равного в данном случае N0. При t = 2T1/2(А) количество ядер В достигает 34 N0 или 75% от максимально возможного количества. По истечении 10 периодов полураспада нуклида А количество ядер В составляет 99,9%. Полное превращение всех ядер А в В осуществляется при t → ∞.

На рис. 8 представлен график, показывающий изменение во времени числа ядер произвольного стабильного нуклида.

Рис. 8. Кривая накопления произвольного стабильного нуклида В при начальном условии NВ = 0.

Кривая накопления стабильного нуклида представляет собой возрастающую экспоненту, которая при большом времени наблюдения асимптотически стремится к предельному значению, равному N0.

35

Обратим внимание на то, что график построен в безразмерных координатах: время наблюдения выражено в единицах, кратных периоду полураспада материнского нуклида, а число ядер дочернего нуклида – в долях от максимально возможного. Использование таких координат придает графику универсальность. Кривая, представленная на рис. 8, описывает накопление любого стабильного нуклида.

Пример 12. От продуктов распада очищено 500 г 238U. Через какое время в нем образуется 10 г 206Pb?

Воспользуемся уравнением (60):

	1	t
		T1/ 2 238
N 206Pb N 238U 1	2		U

.

Выразим N 206Pb и N 238U через массы:

		N A		m238U N A
	m206Pb						1
					1		2
	M 206Pb			M 238U

t

T1/ 2238U

.

Преобразуем полученное выражение и выразим искомый параметр t:

t

T1/ 2 238

m206Pb M 238U

1

U

1

.

2

m238U M 206Pb

m206

M

238

ln 1

Pb

U

T

m238

M 206

1/ 2 238U

t

U

Pb

.

ln 0,5

Подставим численные данные:

10 238

4,5 109

ln 1

500 206

t

1,52 108 лет.

ln 0,5

36

1.3.2. Двухстадийные превращения.

Накопление радиоактивного дочернего нуклида

Рассмотрим систему, в которой материнский и дочерний нуклиды испыты-

вают радиоактивный распад c периодами полураспада Т1/2(1)		и T1/2(2), причем
Т1/2(1) > T1/2(2), т.е. 1 < 2.
Данную систему можно представить следующей схемой:
1 (T1/2(1))	2 (T1/2(2))	(61)
A B C .

Продуктом распада дочернего нуклида является внучатый нуклид С, который может быть либо стабильным, либо радиоактивным (в зависимости от конкретной системы).

Выведем выражение, описывающее изменение числа ядер нуклида В во времени, используя следующие обозначения:

N1 – число ядер нуклида А в любой момент времени t (кроме t =0); N2 – число ядер нуклида В в любой момент времени t (кроме t =0).

Уменьшение количества ядер материнского нуклида описывает закон радиоактивного распада в дифференциальной форме:

	dN1	N	(62)
	dt	1 1 .

Количество ядер радиоактивного дочернего нуклида изменяется более сложным образом из-за влияния двух процессов, которые протекают одновременно:

1)возникновения ядер В при распаде А;

2)уменьшения числа ядер В в результате собственного радиоактивного распада.

Выражение, описывающее скорость образования ядер В, аналогично (62), но противоположно по знаку:

dN		2			dN
					1	1N1 .	(63)
	dt		образ.		dt

Скорость радиоактивного распада ядер В подчиняется закону:

dN		2		2N2 .
					(64)
	dt			расп.

Результирующему процессу соответствует уравнение, полученное суммированием (63) и (64):

37

	dN2	1N1 2 N2 .	(65)
	dt

Это уравнение представляет собой дифференциальную форму закона накоп-

ления радионуклида. Способы решения данного уравнения, которое является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка, приведены в Приложении 1.

Решение уравнения (65) выглядит следующим образом:

N	2	(t)		1	N (e 1t e 2t ) N	2,0	e 2t	,	(66)
			2	1	1,0
где N1,0 и				N2,0 - числа ядер материнского и дочернего нуклидов, соответ-

ственно, в начальный момент времени.

Чтобы получить зависимость активности дочернего нуклида (А2) от времени наблюдения, нужно умножить все части уравнения (66) на 2:

A (t)		2	A (e 1 t e 2	t ) A e 2	t
					,	(67)
2	2	1	1,0	2,0

где А1,0 и А2,0 – активности материнского и дочернего нуклидов в начальный момент времени.

Уравнения (66) и (67) представляют собой интегральную форму закона накопления дочернего радионуклида. Их можно представить общими формула-

ми:

	N2 (t) SN			(t) SN							(t)	,													(68)
			1						2
	где	SN (t)					1				N1,0 (e 1t e 2t )						,	S		(t) N	2,0		e 2t
						2 1													N2
			1																						,
	и
	A2 (t) SA			(t) SA							(t)		,												(69)
			1						2
	где	S	(t)				2	A (e 1 t e 2 t )							,	S			(t) A			e 2		t	.
																		A 2
			A1		2		1				1,0									2,0
	Слагаемые			SN			(t)	и			SA	(t)		описывают два процесса: образование ядер нук-
						1					1

лида В при распаде А и убыль образовавшихся ядер В. Эти слагаемые присутствуют в уравнениях всегда.

38

Наличие слагаемых SN 2 (t) и SA2 (t) зависит от выбора начальных условий,

а именно от того, содержались ли в системе ядра нуклида В к моменту начала наблюдения. Поскольку исходные условия задаются исследователем, то перед началом наблюдения, по его желанию, дочерний нуклид может быть отделен от материнского физическими или химическими способами, т.к. эти нуклиды являются разными химическими элементами. Например, 222Rn, являющийся дочерним продуктом распада 226Ra, легко удаляется продуванием воздуха через раствор соли радия. 234Th, представляющий продукт распада 238U, легко удаляется с помощью ионного обмена.

В таких случаях слагаемые SN										(t) и	SA (t)	тождественно равны нулю и
										2	2
уравнения (66) и (67), соответственно, принимают вид:
N	2	(t)			1			N (e 1t e 2t )
			2			1		1,0				(70)
и
A (t)						2			A (e 1t e 2t )
2								1,0		.		(71)
			2			1

Если система не была предварительно очищена, т.е. содержала ядра В при t = 0, то слагаемые SN 2 (t) и SA2 (t) описывают уменьшение (в результате радио-

активного распада) количества этих ядер и, соответственно, активности нуклида.

Графический вид функций (71) и (67) показан на рис. 9 и 10, соответственно. Представленные графики называются кривыми накопления.

Положение исходных точек кривых зависит от начальных условий. Если при t = 0 система была очищена от ядер нуклида В, то кривая выходит из начала координат (рис. 9).

39

Активность Bi-212, имп/100 с

8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0	40	80	120	160	200	240	280	320	360	400	440	480	520	560	600
									Время наблюдения, минуты

Рис. 9. Кривая накопления 212Bi из 212Pb при начальном условии A212Bi 0 .

Если при t = 0 в системе присутствовали ядра нуклида В, то начальная точка кривой смещается вверх по оси у на величину, соответствующую начальной активности нуклида А2,0 (рис. 10).

Рис. 10. Кривая накопления 212Bi из 212Pb при начальном условии A212Bi 0 .

Кривые накопления проходят через точку максимума, обозначенную на рисунке 10 символом max. О наличии точки экстремума свидетельствует обращение функций N2 (t) ‒ t и А2 (t) ‒ t в 0 при t=0 и t= .

Точка максимума отвечает промежутку времени, необходимому для накопления в данной системе, т.е. при заданном соотношении периодов полураспада

40