ОиАСУ / Лабораторная работа 4!
.docЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
Поведение решений дифференциальных уравнений 2-го порядка в окрестности особых точек
Рассмотрим автономную систему второго порядка: Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx1 /dt и dx2 /dt зависят только от x1 и x2 и не зависят от t.
Обозначим и . Пусть — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения задают в параметрической форме кривую на плоскости . Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы.Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы.
Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль, , называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.
Точка покоя называется устойчивой по Ляпунову, если: 1) существует такое , что для при существует решение задачи Коши с начальным условиям ; 2) для всякого существует такое , что если и , то при всех . Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если при достаточно малых .
Очевидно, что линейная автономная система имеет единственную точку покоя: x1(t) = 0, x2(t) = 0, при всех . При этом характер точки покоя (0, 0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел l1 и l2 матрицы системы. А именно, пусть l1 и l2 — собственные значения матрицы A исследуемой системы:
-
если l1 и l2— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом (пример 1);
-
если l1 и l2 — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом (пример 2);
-
если l1 и l2 — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом (пример 3);
-
если l1 и l2 — комплексные числа, l1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива, точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром (пример 4), при Rel< 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусом (пример 5), а если Rel>0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом (пример 6);
-
если l1 = l2 - отличные от нуля действительные числа, то точка покоя — узел специального вида, называемый диакритическим, устойчивым при отрицательных l1 = l2 и неустойчивым при положительных l1 = l2 (пример 7);
-
если l1 = 0 и l2 № 0, то существует прямая, проходящая через начало координат, все точки которой являются точками покоя (пример 8);
-
если l1 = l2 = 0, то все точки плоскости являются точками покоя.
Задание. Автономная система:
Коэффициенты уравнений системы заданы в таблице. Построить фазовые кривые в окрестности особых точек.
Вариант 1.
|
Вариант 2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 3.
|
Вариант 4.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 5.
|
|
Пример 1: Поведение решений в окрестности устойчивого узла.
Рассмотрим автономную систему
ее собственные значения и – отрицательные действительные числа. Следовательно, точка покоя (0,0) – устойчивый узел.
Решение: Исследуем характер точки покоя линейной автономной системы.
Определим номер первой компоненты вектора равным 1 (а не 0, как положено по умолчанию):
Такая запись приведена только для удобства восприятия. Условия задачи будут записаны ниже.
|
Определим матрицу системы и найдем ее собственные значения:
-
Для того чтобы ввести матрицу системы, щелкните по символу матрицы в панели Matrix, определите в окне размерности число строк (2) и число столбцов (2), а затем введите в помеченных позициях элементы матрицы
Функция eigenvals вычисляет собственные значения матрицы, указанной в качестве аргумента
Собственные значения - отрицательные действительные числа. Точка покоя - устойчивый узел.
Построим векторное поле системы.
Определим правые части системы.
Определим на прямоугольнике [-1,1][-1,1] квадратную сетку и вычислим правые части в узлах этой сетки:
-
Для того чтобы поставить знак продолжения значений индекса <..>, щелкните по соответствующему символу в панели Calculator.
-
Для того чтобы построить векторное поле, щелкните в панели Graph по пиктограмме векторного поля (Vector Field Plot) и введите в помеченной позиции имена матриц, содержащих компоненты векторного поля.
Построим фазовый портрет - семейство фазовых кривых. Для этого решим задачу Коши с различными начальными условиями, построим фазовые кривые, отвечающие вычисленным приближенным решениям. Для решения задачи методом Рунге-Кутты воспользуемся функцией rkfixed.
-
Определим правую часть системы D(t,Y).
Для того чтобы ввести правые части системы в векторной форме, щелкните по символу матрицы в панели Matrix, определите в окне размерности число строк (2) и число столбцов (1), а затем введите в помеченных позициях выражения для вычисления правых частей.
Вычислим приближенное решение, выполнив методом Рунге-Кутты 4-го порядка 100 одинаковых шагов; обозначим приближенное решение Y1:
-
В первом столбце матрицы Y1 хранятся значения значения t в узлах сетки, во втором столбце - соответствующие значения решения, в третьем - значения производной решения.
Определим несколько начальных условий, решим соответствующие задачи Коши и построим фазовые траектории:
Для того чтобы построить фазовую кривую, щелкните в панели Graph по пиктограмме двумерного декартова графика (X-Y Plot) и введите в помеченной позиции возле оси абсцисс имя второго столбца, а возле оси ординат - имя третьего столбца матрицы, содержащей приближенное решение.
Для того чтобы ввести номер столбца, щелкните по символу столбца в панели Matrix и введите номер столбца в помеченной позиции в угловых скобках.
Пример 2. Поведение решений в окрестности неустойчивого узла
Рассмотрим автономную систему:
ее собственные значения и – положительные действительные числа. Следовательно, точка покоя (0,0) – неустойчивый узел.
Решение: Исследуем характер точки покоя линейной автономной системы.
Определим номер первой компоненты вектора равным 1 (а не 0, как положено по умолчанию):
Такая запись приведена только для удобства восприятия. Условия задачи будут записаны ниже.
|
Определим матрицу системы и найдем ее собственные значения:
-
Для того чтобы ввести матрицу системы, щелкните по символу матрицы в панели Matrix, определите в окне размерности число строк (2) и число столбцов (2), а затем введите в помеченных позициях элементы матрицы
Функция eigenvals вычисляет собственные значения матрицы, указанной в качестве аргумента
Собственные значения - положительные действительные числа. Точка покоя - неустойчивый узел.
Построим векторное поле системы.
Определим правые части системы:
Определим на прямоугольнике [-1,1][-1,1] квадратную сетку и вычислим правые части в узлах этой сетки:
-
Для того чтобы поставить знак продолжения значений индекса <..>, щелкните по соответствующему символу в панели Calculator.
|
Для того чтобы построить векторное поле, щелкните в панели Graph по пиктограмме векторного поля (Vector Field Plot) и введите в помеченной позиции имена матриц, содержащих компоненты векторного поля. |
Построим фазовый портрет - семейство фазовых кривых. Для этого решим задачу Коши с различными начальными условиями, построим фазовые кривые, отвечающие вычисленным приближенным решениям. Для решения задачи методом Рунге-Кутты воспользуемся функцией rkfixed.