Лекция 11.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности.

Во многих случаях мы располагаем информацией о виде закона распределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределения, таких как MN, DN. Для определения этих параметров применяется выборочный метод.

Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда.

Назовем выборочной средней величину

	x =	x1m1 + x2m2 + ... + xk mk	= x	m1	+ x		m2	+ ... +	mk
		n		n		2 n			n
			1

Величина M i= mni называется относительной частотой значения признака

xi. Если значения признака, полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой

1n

x= n åi =1 xi .

Естественно считать величину x выборочной оценкой параметра MN. Выборочная оценка параметра, представляющая собой число,

называется точечной оценкой.

Выборочную дисперсию

	2	k	2	1	n	2
I		= å xi - x Mi =			å xi - x
		i =1		n i =1

можно считать точечной оценкой дисперсии DN генеральной совокупности.

Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками x и y. Например деталь может иметь два размера – длину и ширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредных веществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеваний населения в месяц. Можно через равные промежутки времени

57

Лекция 11.

сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину N, D. Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин N и D, мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.

Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где i-тый отобранный объект (i= 1,2,...n) представлен парой чисел xi, yi :

x1	x2	...	xn
y1	y2	...	yn

Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

xy - xy

rxy =

I xI y

Здесь

			1	n			2		1	n	2
										å xi - x ,
	xy =			åxi yi , I x = I x				=	n
			n
				=						=
				i 1						i 1
				2		1	n			2
				I y = I y	=	n	å yi - y .
							=
							i	1

Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции HND, характеризующего генеральную совокупность.

Выборочные параметры x, sx, rxy или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

58

Лекция 11.

Пусть выборочный параметр @ рассматривается как выборочная оценка параметра , генеральной совокупности и при этом выполняется равенство

M@ =,.

Такая выборочная оценка называется несмещенной.

Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценок будем рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных величин N1, N2,... Nn , каждая из которых имеет тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина N, представляющая генеральную совокупность. При таком подходе

становятся	очевидными	равенства:	Mxi = MNi =MN;
Dxi = DNi =DN для всех k = 1,2,...n.
Теперь	можно показать,	что выборочная	средняя x есть

несмещенная оценка средней генеральной совокупности или , что то же самое, математического ожидания интересующей нас случайной величины

N :

Mx = M	x1 + x2 + ... + xn	=	1	MN	+ MN	2	+ ... + MN	=	1	nMN = MN .
	n		n	1			n		n

Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:

Dx = D

x1 + x2 + ... + xn

=

1

DN + DN

+... + DN

n1

=

1

nDN =

DN

.

n

n2

n2

n

1

2

Найдем теперь, чему равно математическое ожидание выборочной дисперсии I 2. Сначала преобразуем I 2 следующим образом:

	2		1	n	2	1	n	2
I		=		å xi - x =			å xi - MN + MN - x =
			n			n
				=			=
				i 1			i 1

=1 ån xi - MN 2 - 2 xi - MN x - MN + x - MN 2 =

n i=1

59

Лекция 11.

=1 ån xi - MN 2 - x - MN 2

n i=1

Здесь использовано преобразование:

n				n
å2 xi - MN x - MN = 2 x - MN å xi - MN =
i=1				i=1
æ	n	n	ö	2
ç			÷
= 2 x - MN ç	åxi - åMN ÷			= 2 x - MN nx - nMN = 2n x - MN
è i=1		i=1	ø

Теперь, используя полученное выше выражение для величины I 2, найдем ее математическое ожидание.

2

æ

1

n

2

2

ö

ç

÷

MI

= M

å xi - MN - x - MN

=

ç n

÷

=

è

i 1

ø

1

n

2

2

1

=

åM xi - MN - M x - MN =

nDN - Dx =

n

n i=1

= DN -

DN

=

n -1

DN .

n

n

Так как

Ms 2

¹

Dx,

выборочная

дисперсия не является

несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральной

	совокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на							n		. Тогда
								n -1
				n
	получится величина	s2	=		I 2 , называемая исправленной выборочной
				n -1
	дисперсией.
					1		n
				s2 =			å xi - x 2
						n -1 i=1

60

Лекция 11.

Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию называется эффективной.

Полученная из выборки объема n точечная оценка dn параметра , генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к D. Это означает, что для любых положительных чисел A и C найдется такое число nAC , что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > nAC выполняется условие P @ n - D < A > 1- C .

x и s2 являются несмещёнными, состоятельными и эффективными оценками величин MN и DN.

61