7

x	х1	¼	xi	¼	xn
Р	p11	¼	pi1	¼	p1n

h	y1	¼	yj	¼	yk
Р	p12	¼	p2j	¼	pk2

то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:

n k

х

y

p1 p2

=

М(xh) = å å

j

i =1 j =1

i

i j

1

k

2

1

k

2

1

k

2

1 k

2

=

= х1 p1

åy j p j

+х2 p2

åy j p j

+¼+ хi pi

åy j p j

¼+ хn pn åy j p j

j =1

j =1

j =1

j =1

n

= х1 p11 Mh + х2 p12 Mh + ¼+ хi p1i Mh¼+ хn p1n Mh = Mh åxi pi = Мx×Мh

i =1

Дисперсия случайной величины.

Дисперсия Dx случайной величины x определяется формулой

Dx = M(x – Mx)2

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину x с законом распределения

x	1	2	3
Р	1	1	1
	6	2	3

Вычислим её математическое ожидание.

Mx = 1× 16 + 2× 12 + 3× 13 = 136

Составим закон распределения случайной величины x – Mx

x	x	7	1	5
	– M	- 6	- 6	6
Р		1	1	1
		6	2	3

а затем закон распределения случайной величины (x – Mx)2

(x– Mx)2		1		25	49
		36		36	36
Р		1		1	1
		2		3	6

Теперь можно рассчитать величину Dx :

26

8

Dx = 361 × 12 + 3625 × 13 + 3649 × 16 = 1736

Используя определение дисперсии, для дискретной случайной величины формулу вычисления дисперсии можно представить в таком виде:

n

Dx = å xi - Mx 2 pi

i =1

Можно вывести ещё одну формулу для вычисления дисперсии:

		n	n	xi	2 - 2xi Mx + M 2x pi =
	Dx = å xi - Mx 2 pi = å
		i =1	i =1
n	2 p	n	n			- 2Mx × Mx + M 2x =
= åx		- 2Mxåx p	+ M 2xå p = Mx2
i	i	i i	i =1		i
i =1		i =1

= Mx2 – M2x

Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математического ожидания.

Пример.

Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения

x	1	0
Р	p	q

Выше было показано, что Mx = р. Легко видеть, что Mx2 = р. Таким образом, получается, что Dx = р – р2 = pq.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Свойства дисперсии.

1. Если k – число, то D(kx) = k2 Dx. Доказательство.

27

9

D(kx) = M(kx – M(kx))2 = M(kx – k Mx)2 = M(k2 (x – Mx)2) = k2M(x – Mx)2 =

=k2 Dx

2.Для попарно независимых случайных величин x1, x2,¼, xn справедливо равенство

n n

Dåxi =åDxi

i =1

i =1

Это свойство оставим без доказательства. Рекомендуем читателю рассмотреть следующий пример.

Пусть x и h – независимые случайные величины с заданными законами распределения:

x	0	1		h	1	2
Р	0,25	0,75		Р	0,7	0,7

Показать, что D(x + h) = Dx + Dh.

28

1

Биномиальный закон распределения.

Пусть заданы числа n Î N и p (0£ p £ 1). Тогда каждому целому числу из промежутка [0; n] можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины (назовём её b)

b	0	¼	k	¼	n
Р	¼	¼	Cnk pk (1 - p)n-k	¼	¼

Будем говорить, что случайная величина b распределена по закону Бернулли. Такой случайной величиной является частота появления события А в n повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А происходит с вероятностью p.

Рассмотрим отдельное i-е испытание. Пространство элементарных исходов для него имеет вид

W = {A, A}

Определим на этом пространстве случайную величину xi следующим образом:

xi = 1, если происходит событие А;

xi = 0, если происходит событие A

Закон распределения случайной величины xi рассматривался в предыдущем параграфе.

xi	1	0
Р	p	q = 1–p

Mx = ×р; Dx = рq

Для i = 1,2,¼,n получаем систему из n независимых случайных величин xi, имеющих одинаковые законы распределения. Если теперь сравнить законы

n

распределения двух случайных величин b и åNi , то можно сделать очевидный

i =1

n

вывод: b = åNi . Отсюда следует, что для случайной величины b, имеющей

i =1

2

закон распределения Бернулли, математическое ожидание и дисперсия определяются формулами

n n n

Mb = M åξi = åMξi = å p = np;

i =1	i =1	i =1
n	n	n

Db = D åξi = åDξi = å pq = npq

i =1 i =1 i =1

Найдём оценку величины р — вероятности успеха в одном испытании некоторого биномиального эксперимента. Для этого проведём n испытаний и подсчитаем х – число успехов. Оценку р* неизвестной величины р определим

формулой р* = nx .

Пример.

Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр

продукции не отвечает стандарту отношением р* = 4/20 = 0,2.

Так как х случайная величина, р* – тоже случайная величина. Значения р* могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случае экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров продукции). Каково математическое ожидание р*? Поскольку х есть случайная величина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, Мx = np. Для математического ожидания случайной величины р* по определению

получаем: Mp* = Mçæ	x	÷ö	, но n здесь является константой, поэтому по свойству
è n ø
математического ожидания
			Mp* =	1	Mx =	1	np = p
				n		n

Таким образом, “в среднем” получается истинное значение р, чего и следовало ожидать. Это свойство оценки р* величины р имеет название: р* является несмещённой оценкой для р. Отсутствие систематического отклонения от величины оцениваемого параметра р подтверждает целесообразность использования величины р* в качестве оценки. Вопрос о точности оценки пока оставляем открытым.