Потоком вектора через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл второго типа
. (14)
Выведем эту формулу, исходя из физического смысла введённого понятия. Рассмотрим частный случай стационарного поля, когда скорость течения жидкости во всех точках поля одна и та же (см. рис. 7). Количество жидкости Q, протекшее за единицу времени через прямоугольник со скоростью , равно произведению его площади на скорость :
.
Величина Q постоянна в любом сечении, параллельном данному.
Очевидно, что это же количество жидкости протечёт и через площадку ABCD, составляющую угол с прямоугольником A’B’C’D’. Тогда
,
где S - площадь ABCD,
, (15)
где - проекция скорости на нормаль .
Разумеется, формула будет верна для площадки любого вида, например, как на рис. 8.
Рис. 7 Рис. 8
Перейдём к общему случаю. Решим задачу о вычислении количества жидкости, протекшего через произвольную поверхность . Пусть в некоторой части пространства задано поле скоростей жидкости, т.е. в каждой точке M(x, y, z) этого пространства задан переменный вектор скорости
.
Рис. 9
Возьмём гладкую ориентированную поверхность (рис. 9) и подсчитаем количество жидкости, протекающее через эту поверхность. Разобьём поверхность сетью произвольных кривых на п участков , в каждом из которых выберем произвольную точку Mi. Будем считать, что каждая площадка , в силу её малости, плоская и поток, проходящий через неё, - постоянный, именно такой, как в точке Mi в направлении нормали ni, построенной в точке Mi.
Можно приближённо подсчитать количество жидкости, протекшее через поверхность по формуле (15), суммируя результаты по всем i = 1, 2, …, n :
, (16)
где - площадь участка,
- скорость поля в точке Mi,
- угол между нормалью к поверхности , построенной в точке Mi, и вектором скорости .
Преобразуем формулу (16), используя свойства скалярного произведения вектора на единичный вектор нормали
Перейдём к пределу при , когда, т. е. каждая площадка стягивается в точку:
.
Величина Q называется потоком жидкости через поверхность и выражается поверхностным интегралом (сравните с формулой 11 Темы 15)
(17)
или . (18)
Таким образом, мы получили различные формулы для вычисления потока векторного поля с помощью поверхностных интегралов первого и второго типов.
Пример 6. Вычислить поток вектора через полную поверхность эллипсоида в сторону внешней нормали.
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0, 0, 0) - центре эллипсоида. Формулу Остроградского нельзя применять, хотя поверхность и замкнута, но можно воспользоваться формулой (17), связывающей поверхностные интегралы первого и второго типов:
2. Дифференциальная форма
Дифференциальная форма общего уравнения непрерывности такова:
где
∇• - дивергенция,
t - время,
σ добавление q на единицу объёма в единицу времени. Члены которые добавляют (σ > 0) или удаляют (σ < 0) q называются "источниками" и "стоками" соответственно.
Это общее уравнение может быть использовано для вывода любого уравнения непрерывности, начиная с простого уравнения неразрывности и до уравнения Навье-Стокса.
Если q сохраняющаяся величина, которая не может быть создана или уничтожена (например энергия), тогда σ = 0, и уравнение непрерывности принимает вид:
3. Возьмем несжимаемую жидкость и рассмотрим в ней трубку тока. Объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение Sза время Dt, равенSvDt.
Тогда Q = Sv - поток жидкости, т.е. объём жидкости, прошедшей через поперечное сечениеSза единицу времени.
Если жидкость несжимаема, то объем жидкости между сечениями S1 иS2будет оставаться неизменным, и тогдаS1v1 = S2v2. Это справедливо для любой парыS1 иS2, и мы получаем
Sv = const–теорема о неразрывности струи:
Для несжимаемой жидкости величина потока жидкости Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинаковой.
4. Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
— плотность жидкости,
— скорость потока,
— высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
— давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
— ускорение свободного падения.
5. Трубка Пито–Прандтля.
Трубка Пито–Прандтля (см. рис. 3.6) позволяет одновременно определить величину динамического и статического давления в определенной точке потока.
Через отверстие А происходит измерение динамического давления. Через отверстия М измеряется статическое давление жидкости. Жидкость под действием давления поднимается по соответствующим пьезометрическим трубкам до точек А¢ и М¢.
Рис. 3.6. Трубка Пито–Прандтля
Так как плотность газа (воздуха) значительно меньше плотности жидкости, то давлением воздуха можно пренебречь. Разность давления в точках А и М будет . Разность давления Δp зависит от динамического давления на входе в трубку Пито–Прандтля, что следует из уравнения Бернулли для точек А и М:
,
где – скорость потока на входе в трубку Пито–Прандтля. Таким образом,
,
откуда получаем
|
6. Фо́рмула Торриче́лли – связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием[1].
Формула Торричелли утверждает, что скорость истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубинеот поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты, то есть
где –ускорение свободного падения.
Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии и потерянной потенциальной энергии.
Эта формула была получена (хотя и не в приведённой выше форме) итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.
7. Закон Стокса, математическим выражением которого является формула Стокса, описывает взаимодействие между неподвижной безграничной вязкой жидкостью и помещенным в нее движущимся равномерно и прямолинейно телом. В соответствии с механическим принципом относительности, такая задача эквивалентна задаче об обтекании неподвижным телом набегающего на него стационарного потока жидкости, скорость v0 которого вдали перед телом равна - u.
При обтекании тела потоком несжимаемой (div v = 0) жидкости (рис. 1), соответствующим малым значениям числа Рейнольдса
Re = v0 l /n <<1,
где l - характерный линейный размер тела;
n - кинематическая вязкость жидкости,
уравнение движения вязкой жидкости (урравнение Навье-Стокса) может быть представлено в следующей приближенной форме:
v grad p 0
или
rot v 0,
где - динамическая вязкость жидкости;
p - давление;
- оператор Лапласа.