Решение

По формуле (2.33) .

, так как соединяет точку с началом координат. По условию.

По формуле

Т.о., .

Смешанное произведение трех векторов

Определение Смешанным произведением трех векторов иназывается число, полученное, если перемножить векторыивекторно, а потом полученный вектор умножить скалярно на вектор. Поэтому это произведение еще называется векторно-скалярным произведением. Смешанное произведение записывается таким образом:, т.е..

С геометрической точки зрения смешанное произведение некомпланарных векторов ипо модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах.

Если векторы изаданы координатами в прямоугольной системе координат

то можно показать, что .

Если , то это означает, что параллелепипед на этих векторах построить нельзя, то есть векторыилежат в одной плоскости, ведь

выражает условие компланарности векторов и.

Смешанное произведение имеет такие свойства:

1) - операции скалярного и векторного произведений можно менять местами, поэтому смешанное произведение записывают еще в виде;

2) круговая перестановка множителей не изменяет величины смешанного произведения ;

3) перестановка двух соседних множителей изменяет знак произведения на противоположный .

Пример. Найти объем пирамиды с вершинами и

Решение

Как известно из элементарной геометрии, объем пирамиды равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного на векторах та. Поэтому найдем координаты этих векторов

Вычислим объем параллелепипеда, то есть за формулой (2.34) найдем смешанное произведение векторов и:

Отсюда

= 84 куб. ед.

Пример Показать, что точки илежат в одной плоскости.

Решение

Точки ибудут лежать в одной плоскости, если векторыикомпланарны. Найдем координаты этих векторов:Вычислим смешанное произведение этих векторов

Равенство нулю смешанного произведения есть необходимым и достаточным условием компланарности векторов и, а значит, точкиипринадлежат одной плоскости.