2.Произвольные поликонические проекции

Наряду с различными методами получения проекций успешно применяются и такие, в которых координаты точек и искажения находят средствами численного анализа. Идея и разработка методики применения численного анализа в математической картографии принадлежат Н. А. Урмаеву. Он же разработал и теорию получения проекций по эскизам картографических сеток с использованием методов численного анализа и теорий приближения и интерполирования функций. По эскизам картографических сеток можно получить варианты поликонических проекций, хорошо приспособленные к требованиям конкретного задания. Так, Г. А. Гинзбургом был разработан способ получения произвольных поликонических проекций для карт мира. Сущность этого способа заключается в следующем. Сначала строится эскиз картографической сетки, удовлетворяющий тем или иным требованиям в отношении характера сетки и примерного распределения искажений на изображаемой территории. Затем на основании построенного эскиза определяются координаты узловых точек сетки, искажения длин, площадей и углов, т. е. находится приближенное аналитическое выражение проекции. Уравнения проекции при этом не дают, ограничиваясь таблицами числовых значений координат. В основу разработки проекций для карт мира указанным способом была положена система поликонических проекций, обладающая известной приспособляемостью к трансформированию сетки и некоторому изменению величин и распределению искажений для создания новых эскизов сетки, в большей степени отвечающих заданию. Разработка проекции может быть разделена на два этапа: построение эскиза сетки и математическую обработку эскиза.

2.1.Построение эскиза сетки

При разработке эскиза определяют: симметричность сетки относительно экватора и осевого меридиана, осевой меридиан сетки (влияет на взаимное расположение материков на карте), как должны быть разделены осевой меридиан и параллели сетки, изображение. полюсов (точками или линиями), длину полярных линий, характер и распределение искажений и т. д. Выбрав за основные один или два варианта исходных проекций и внеся в них нужные изменения, проводят построение эскиза сетки меридианов и параллелей в мелком масштабе на миллиметровой бумаге. Чтобы рационально трансформировать сетку и совершенствовать эскиз в зависимости от требований, нужно хорошо знать свойства исходных проекций, распределение искажений и связь искажений с видом сетки. При построении параллелей в общем случае масштаб длин по прямолинейному осевому меридиану может быть представлен в виде четного полинома

(1)

для решения практических задач достаточно ограничиться двумя членами ряда

(2)

причем коэффициенты имогут быть найдены, если заданы масштабыmдля двух широт. Тогда для абсцисс точек осевого меридиана

(3)

Для случая равноразделенного осевого меридиана и при = 1

,

(4)

где — масштаб карты.

Через найденные точки деления осевого меридиана после необходимого анализа сеток исходных вариантов проекций проводят параллели — плавные кривые, близкие к окружностям. При этом необходимо учитывать, что увеличение кривизны параллелей ведет к уменьшению искажений углов и увеличению искажений площадей. Построение меридианов выполняют в следующем порядке. Если параллели равноразделенные, то, наметив наиболее выгодные положение и очертание крайнего меридиана (=180°), делят параллели на равные части и проводят остальные меридианы. При построении крайнего меридиана удобно задать широтупараллели, на которой масштаб. Зная широту, можно определить длину дуги этой параллели от осевого меридиана до крайнего. Можно задаться и масштабом. Чтобы наметить наиболее выгодные очертания крайнего меридиана, анализируют сетки исходных вариантов проекций. На основании первичного эскиза графически (приближенно) определяют частные масштабы и искажения углов. При этом путем непосредственных измерений находят величины хорд(рис. 1). Приближенные значения частных масштабовmиnполучают по формулам

Рис.1. Схема определения m и n

(5)

(6)

где и— отрезки соответствующих дуг на земной поверхности. Уголiи затемeопределяются непосредственным измерением. Знаяm,n,i, можно определить частный масштаб площадири наибольшее искажение угловω. Обычно это определение производят приближенно с использованием номограмм. Полученные значения могут содержать ошибки до 2—3 % в величинахри 2—3° — в величинахω.Зная величины искажений в ряде точек сетки, можно построить приближенные изоколы, которые будут сложными кривыми. Если полученные значения искажений и их размещение не удовлетворяют поставленным требованиям, в эскиз вносят поправки. В качестве примера рассмотрим получение поликонической проекции, разработанной ЦНИИГАиК в 1950 г., которая использовалась при составлении политической карты мира в Атласе для учителей средней школы. При разработке этой проекции ставилось условие, чтобы сетка меридианов и параллелей была симметрична относительно осевого меридиана и экватора, а также имела равноразделенные осевой меридиан и параллели. Параллели, в том числе и околополярные, должны иметь малую кривизну. В отношении искажений основное требование заключалось в том, чтобы искажения площадей не превышали 100 % для важнейших участков суш и, однако и большие искажения форм также считались нежелательными.