3.3.Вычисление уточненных значений искажений
Вычисление уточненных значений частных масштабов и искажений углов производят с использованием известных в теории искажений формул:
(18)
(19)
При этом значения частных производных находят по формулам численного дифференцирования с использованием таблиц разностей, составленных для имеющихся значений координат. Так, приближенное значение производной какой-либо функции
по независимой переменной Zможет быть найдено с использованием значений нечетных разностей функции по формуле:
(20)
Где ω величина промежутка между соседними значениями функции
(ω = arc 10°). Третьим членом обычно пренебрегают. Для случая равноразделенных параллелей вычисление частных масштабов длин упрощается:
(21)
Чтобы построить изоколы, определяют искажения для ряда точек, расположенных не реже чем через 20° по широте и 30° по долготе. Вид сетки с изоколами риωдан на рис. 4. В поликонической проекции, использованной для карт мира в БСЭ, а затем и для политической карты мира в Атласе мира, промежутки между параллелями по осевому меридиану возрастают к полюсам, а параллели имеют большую кривизну, чем в рассмотренном выше варианте. В результате искажения площадей увеличились до 180 % в пределах изображения материков (кроме Антарктиды) при уменьшении искажений углов примерно на 10°. Для стенных карт мира нашла применение проекция с равноразделенными параллелями в западной части сетки и неравноразделенными — в восточной. При этом из-за убывания промежутков между меридианами Тихий океан изображается не таким увеличенным по площади, как при равноразделенных параллелях.
Метод разработки произвольных проекций по эскизам сеток получил дальнейшее развитие в работах В. М. Богинского. Эскиз картографической сетки может быть построен для проекции, в которой медианы и параллели изображаются сложными кривыми.
Рисунок 4. Изоколы p (1) и ω (2) в поликонической проекции для карты мира
Рис. 4. Изоколы p (1) и ω (2) в поликонической проекции для карты мира
Для аппроксимирования эскиза, т. е. для установления функциональных зависимостей, выражающих связь между прямоугольными и географическими координатами узловых точек сетки, используются степенные полиномы с двумя переменными — ωиλ.
В общем виде:
,
Где
-
степень полинома;
-постоянные
коэффициенты.
Если картографическая сетка симметрична относительно осей X иY, то абсциссы будут выражаться полиномом четной степени долготы и нечетной степени широты, а ординаты- полиномом нечетной степени долготы и четной степени широты:
Для
нахождения постоянных коэффициентов
(
)
определяют по эскизу приближенные
значения прямоугольных координат,
уравнивают их по способу наименьших
квадратов.
4. Системы координат, построенные на основе произвольных поликонических проекций
4.1. Система координат utm
Система координат UTM была разработана инженерами армии США в 1940-х годах. Система базировалась на референц-эллипсоиде. Для территории США был использован эллипсоид Кларка 1866. Для остальной части Земли использовался международный эллипсоид. В настоящее время в основе системы лежит эллипсоидWGS84.
Рисунок
5. Зоны UTM
Система координат UTM (от англ. Universal Transverse Mercator) . Применяется в геодезиии картографии.Система координат, разделяющаяЗемлюна 60 вытянутых в меридиональном направлении зон шириной 6градусов(максимальная ширина зоны 800 км) и отображающая их по отдельности в равноугольнойпоперечно-цилиндрической проекции Меркатора. В отличие отсистемы координат Гаусса—Крюгера, в UTM используется масштабный коэффициент, равный 0,9996. Поэтому эта система координат сохраняет масштабы не на осевом меридиане, а на некотором расстоянии (около 180км) от него, из-за чего максимальное искажение масштаба в пределах шестиградусной зоны у неё меньше. Другим отличием является нумерация зон. Первая зона та, осевой меридиан которой имеет долготу 177°з. д.Таким образом, например, 7-я зона в системе координат Гаусса—Крюгера по географическому охвату соответствует 37-й зоне UTM. Ось абсцисс в данной системе координат направлена на восток, а ось ординат — на север. Во избежание отрицательных значений координат, к значению абсциссы прибавляются 500000м, а к значению координаты вюжном полушарии— 10000000м.