§ 6. Координатные системы

Координатные системы или системы координат – от латинских слов coordinatus – совместно, ordinatus – упорядоченный 3 (см стр. 78, 11).

При решении различных задач, возникающих из потребностей практики, часто требуется знать характеристики положения тела в пространстве, его протяженность, взаимное расположение с другими телами и т.д.

Из соображений практической целесообразности часто требуется рассматривать тело как точку на прямой, плоскости или в пространстве, а ее движение описывать вектором. Положение такой точки в пространстве можно полностью определить ее координатами относительно любого базиса, то есть упорядоченным набором чисел.

Пусть дана направленная геометрическая прямая линия (рис. III.3).

Рис. III.3.

Рассмотрим линейное пространство L векторов на прямой. Зафиксируем на ней началоO и единичный вектор , где. Положение любой точкиM на прямой, очевидно, однозначно определяется вектором . Все векторы на прямой коллинеарны, следовательно, существует число, такое, что. Число называется аффинной координатой. Таким образом, каждая точка M на прямой, в самом деле, однозначно определяется аффинной координатой . При фиксированной аффинной системе координат существует однозначное соответствие между всеми действительными числами (числовая ось) и точками прямой линии.

В одномерном пространстве мы уже можем вычислять расстояние между двумя точками , геометрически интерпретируя его как длину отрезка. В самом деле, из аксиом линейного пространства имеем,, тогда, отсюда длина

.

Аналогично рассмотрим плоскость, на которой зафиксируем начало и неколлинеарные единичные векторы ,с общим началом, тогда получаем аффинную систему координат (рис.III.4), в которой любой вектор однозначно определяется двумя координатами,.

Рис. III.4

Векторы ,, а. ТогдаM₁ и M₂ называются аффинными проекциями вектора на оси координат,. Если, то,. Каждый базисный вектор на своей оси образует собственную одномерную систему координат.

Задание упорядоченной пары чисел однозначно определяет точку плоскости. Следовательно, при заданной системе координат существует взаимно-однозначное соответствие между всеми упорядоченными парами вещественных чисел и точками плоскости.

Аналогично вводится аффинная система координат в пространстве с базисными векторами ,,. Положение любой точкиM в пространстве однозначно определяется вектором , где, а координаты называются– абсциссой,– ординатой,– аппликатой точкиM. Соответствующим образом определяются проекции на оси.

Заметим, что проекцию точки в пространстве можно задать и на координатной плоскости.

Среди аффинных координат наибольшее распространение получили декартовые координаты, характеризующиеся тем, что базисные единичные векторы взаимно ортогональны и обычно обозначаются буквами . Их преимущество по сравнению с другими координатными системами только в простоте получаемых формул, отражающих измерения и взаимное расположение объектов в линейных пространствах.

Метод координат – хорошо разработанный аппарат, исследующий геометрические объекты алгебраическими и математического анализа методами. Этот метод лежит в основе аналитической геометрии – прикладной математической науки, изучающей геометрические объекты аналитическими методами.

Как уже отмечалось, линейная алгебра широко применяется в различных науках, и ее связь с аналитической геометрией вполне естественна. Можно сказать, что линейная алгебра является ее теоретической базой. В дальнейшем эта связь будет постоянно подтверждаться.