- •В.А. Павский линейная алгебра
- •Оглавление
- •Введение
- •I. Введение в линейную алгебру § 1. История развития алгебры
- •§ 2. Множества
- •§ 3. Строение множеств
- •Алгебра множеств
- •§ 4. Число Развитие
- •§ 5. Числовые множества
- •Бесконечные множества
- •Натуральный ряд
- •Множество целых чисел
- •Множество рациональных чисел
- •Множество действительных чисел
- •Множество комплексных чисел
- •Суммы и произведения
- •Приближенные вычисления
- •II. Элементы линейной алгебры § 1. Матрицы и определители 3, 7
- •Действия над матрицами
- •1. Сложение матриц
- •2. Умножение матрицы на число
- •3. Умножение матриц
- •Определитель матрицы
- •Свойства определителей
- •Вычисление определителей
- •Аксиоматическое построение теории определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Элементарные преобразования матрицы
- •§ 2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Методы решения слау
- •1. Метод Крамера
- •2. Матричный метод
- •3. Метод Гаусса
- •Однородная система линейных алгебраических уравнений (ослау)
- •§ 3. Системы линейных алгебраических неравенств
- •III. Линейные пространства
- •§ 1. Линейная зависимость
- •§ 2. Линейные комбинации. Базисы
- •§ 3. Подпространства
- •§ 4. Прямые суммы
- •§ 5. Евклидовы пространства
- •§ 6. Координатные системы
- •IV. Векторная алгебра § 1. Векторы
- •§ 2. Линейные операции над векторами
- •§ 3. Проекция вектора на ось
- •Линейные свойства проекции вектора на ось
- •Координаты вектора
- •Деление отрезка в данном отношении
- •§ 4. Базис системы векторов
- •§ 5. Скалярное произведение векторов
- •§ 6. Векторное произведение векторов 4
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение векторов 4
- •V. Аналитическая геометрия 4
- •§ 1. Системы координат на плоскости
- •§ 2. Уравнение линии на плоскости
- •§ 3. Уравнение поверхности и линии в пространстве
- •§ 4. Прямая и плоскость в линейном пространстве
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Уравнение прямой в пространстве r3
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Прямая как линия пересечения плоскостей
- •Расстояние от точки до прямой
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Угол между плоскостями
- •VI. Линейные операторы § 1. Линейный оператор
- •Векторные свойства линейных операторов
- •Умножение операторов
- •Матрицы операторов
- •Изменение базиса 3, 11
- •Подобие 11
- •§ 2. Характеристический многочлен
- •VII. Билинейные и квадратичные формы § 1. Билинейные формы
- •§ 2. Квадратичные формы
- •Приведение к каноническому виду
- •VIII. Гиперповерхности и поверхности второго порядка
- •Классификация линий второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •Классификация поверхностей второго порядка
- •Заключение
- •Список литературы
- •Линейная алгебра
- •650002, Г. Кемерово, ул. Институтская, 7
- •650002, Г. Кемерово, Институтская, 7
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Выведем уравнение гиперболы. Положим . Систему координат (рис.VIII.2) выберем так же, как и в случае эллипса. Тогда , а. Если– произвольная точка гиперболы, то,a – постоянная, . Это уравнение соответствует определению гиперболы. Преобразуя его, как и в случае эллипса, и положив, получимканоническое уравнение гиперболы:
.
Гипербола – кривая, симметричная относительно осей и начала координат. Прямые являются асимптотами гиперболы, величина называется эксцентриситетом гиперболы, , а прямые – ее директрисами.
Рис. VIII.2
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F и данной прямой (рис. VIII.3). Точка F называется фокусом параболы, а данная прямая – директрисой параболы. Для получения уравнения параболы выберем систему координат следующим образом: ось Ox проведем через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат поместим в точку, равноудаленную от фокуса и директрисы. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через p. Величина p называется параметром параболы. В выбранной системе координат фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет видили, по определению
Рис. VIII.3
Пусть – произвольная точка параболы. Соединим точкуМ с точкой F. Проведем отрезок MM' перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы . По формуле расстояния между двумя точками находим:, а. Следовательно,. После элементарных преобразований получимканоническое уравнение параболы:
.
Пример VIII.3. Классифицировать линию 2-го порядка .
Решение. Воспользуемся формулой . Выделим полный квадрат по каждой переменной, для этого сгруппируем отдельно слагаемые, содержащие переменнуюx и y: . Коэффициенты при переменных в старшей степени вынесем общими множителями. Полученные выражения вскобках дополним до полного квадрата, в первом случае прибавим и отнимем 25, во втором – 4: . После раскрытия скобок постоянные перенесем в правую часть равенства.Приведем подобные . Запишем уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Разделим последнее равенство на 36, чтобы получить единицу в правой части
или .
Данная линия (рис. VIII.4) является гиперболой с центром в точке и полуосями,.
Рис. VIII.4
Классификация поверхностей второго порядка
II. Рассмотрим в поверхность 2-го порядка, которая имеет размерность9, 10.
Определение. Поверхностью 2-го порядка в декартовой системе координат пространстваназывается множество точек, удовлетворяющих уравнению вида
. (VIII.5)
Линейным преобразованием (матрицей линейного оператора) уравнение (VIII.5) приводится к одному из пяти линейно независимых уравнения канонического вида
1) ,
2) ,
3) , (VIII.6)
4) ,
5) ,
где коэффициенты во всех уравнениях не равны 0.
Как и ранее, выделим классы поверхностей:
невырожденные и нераспадающиеся поверхности:
эллипсоид (рис. VIII.5);
Рис. VIII.5
Если , то эллипсоид становится сферой (рис.VIII.6);
Рис. VIII.6
мнимый эллипсоид;
однополостной гиперболоид (рис. VIII.7);
Рис. VIII.7
двуполостной гиперболоид (рис. VIII.8);
Рис. VIII.8
, эллиптический параболоид (рис. VIII.9);
Рис. VIII.9
, гиперболический параболоид (рис. VIII.10);
Рис. VIII.10
вырождающиеся нераспадающиеся поверхности:
мнимый эллиптический цилиндр;
эллиптический цилиндр (рис. VIII.11);
Рис. VIII.11
гиперболический цилиндр (рис. VIII.12);
Рис. VIII.12
параболический цилиндр (рис. VIII.13);
Рис. VIII.13
коническая поверхность (рис. VIII.14);
Рис. VIII.14
мнимая коническая поверхность;
вырождающиеся распадающиеся поверхности:
пара мнимых пересекающихся плоскостей;
пара пересекающихся прямых;
пара мнимых параллельных плоскостей;
пара параллельных плоскостей;
пара совпадающих плоскостей.
Пример VIII.4. Преобразовать к каноническому виду поверхность 2-го порядка
.
Решение. Прежде чем переходить к повороту осей координат , осуществим линейный перенос так, чтобы можно было применить методику квадратичных форм. Положим
, ,,
тогда поверхность запишется в виде
.
Рассмотрим квадратичную форму
.
Составим матрицу квадратичной формы
.
Найдем собственные числа и собственные векторы. Имеем характеристический многочлен:
,
корни которого ,,.
Запишем канонический вид поверхности с точностью до коэффициентов (сначала запишем их положительные значения):
.
По классификации это однополостной гиперболоид. Явный вид линейного преобразования находим аналогично примерам предыдущего раздела:
,
где первое слагаемое определяет параллельный сдвиг, а второе поворот вокруг оси симметрии. Окончательно