Взаимное расположение плоскостей

Пусть две плоскости заданы в общими уравнениями

и ,

, .

Эти плоскости параллельны только в том случае, если коллинеарны их нормальные векторы и, то есть выполняются условия:.

Следовательно, две плоскости, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при одноименных переменных пропорциональны.

Если кроме коэффициентов при переменных пропорциональны и свободные члены, то есть выполняются равенства

,

то плоскости совпадают.

Чтобы две плоскости пересекались, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при переменных x, y, z не были пропорциональны.

Плоскости перпендикулярны в том случае, если перпендикулярны их нормальные векторы, то есть выполняется условие:

.

Пример V.8. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями и.

Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, если их нормальные векторы иудовлетворяют условию. Так как, то указанное условие выполнено и значит, данные плоскости перпендикулярны.

Уравнение прямой в пространстве r3

Каноническое уравнение прямой. Положение прямой вполне определено, если заданы лежащая на ней точка и направление. Направление прямой может быть задано любым вектором коллинеарным данной прямой, который называется направляющим вектором.

Выведем уравнение прямой a, проходящей через данную точку и имеющей направляющий вектор.

Произвольная точка лежит на прямойa только в том случае, если векторы иколлинеарны, то есть для них выполняется условие:

.

Эти равенства (а этими равенствами фактически заданы два независимых уравнения) определяют прямую (рис. V.7), проходящую через заданную точку коллинеарно вектору, и называютсяканоническим уравнением прямой в пространстве.

Рис. V.7

Числа l, m и n являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор– ненулевой, то все триl, m и n числа не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю, например,

,

которая означает, что проекции вектора на осиOy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная указанным образом, перпендикулярны осямOy и Oz, то есть плоскости Оyz.

Пример V.9. Составить уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осьюOz.

Решение. Найдем точку пересечения данной плоскости с осью Oz. Так как любая точка, лежащая на оси Oz, имеет координаты (0; 0; z), то, полагая в заданном уравнении плоскости , получимили. Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осьюOz имеет координаты (0; 0; 2). Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, то, тем самым, она параллельна ее нормальному вектору . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормализаданной плоскости.

Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора:

или .

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками и. В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор, то есть. Тогда каноническое уравнение прямой в пространстве примет вид:

.

Эти равенства определяют прямую, проходящую через две данные точки.

Пример V.10. Составить уравнения прямой, проходящей через точки и.

Решение. Запишем искомое уравнение прямой в виде:

или . Так как, то искомая прямая перпендикулярна осиOy.

Пример V.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой.

Решение. Направляющим вектором искомой прямой может служить направляющий вектор данной прямой, поскольку по условию эти прямые параллельны. Зная точкуи направляющий векторискомой прямой, запишем ее уравнение в виде:.