5. Приложения степенных рядов

Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:

; ; ; ;

; .

Литература

1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.

2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.

42. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. 425

Функциональные ряды вида , где (n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа, -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа -коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z=-а, получим ряд (2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1).

Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z=0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<||; а если этот ряд расходится при z=0, то он расходится при всяком z, для которого |z|>||.

а) Пусть ={z: | z|<||}- круг на комплексной плоскости с центром в точке О радиуса ||, и пусть z – произвольная точка круга , т.е. |z|<||, поэтому q=|z/|<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке , то должно выполняться условие , откуда следует ограниченность последовательности {},т.е. M. Используя неравенство (3) и (4), получаем ||=||*| z/M, где . (5) Так как ряд, где, сходится, то по признаку сравнения сходится ряд ,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга .

б) Пусть ряд (2) расходится в точке . Тогда он должен расходиться в любой точке такой, что ||<||, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке.

Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R(-число или ) такое, что: а) если и , то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда;

б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;

в) если , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный , то для радиуса R сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R=, а если существует конечный и бесконечный, то R=.

0, .

Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Дата добавления: 2013-12-24; просмотров: 16; Нарушение авторских прав

Теорема Абеля.

Лекция 14. Степенные ряды.

Степенным рядомназывается ряд вида 

Степенной ряд заведомо сходится при - центр сходимости ряда.

 

1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале

, симметричном относительно .

2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области .

 

Доказательство.

1) Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда числовой ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда . Тогда .

Рассмотрим произвольное, но фиксированное .

Оценим ,

где .

По первому признаку сравнения числовых знакоположительных рядов ряд сходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Следовательно, в области степенной ряд абсолютно сходится.

 

2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Рассмотрим . Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке . Противоречие.

 

Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.

Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.

Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.

 

Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке степенной ряд расходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть .

Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно,степенной ряд(по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервалесходимости степенного ряда.