Свойства плотности распределения

1) (свойство неотрицательности);

2)(свойство нормированности);

В частности, если все значения случайной величины принадлежат интервалу , то.

Пример 5.2.Плотность распределенияслучайной величинызадана функцией. Найти параметр.

Решение. должна удовлетворять свойству нормированности. Найдем несобственный интеграл

Следовательно, .

Таким образом, из свойств плотности вероятности следует, что её график лежит не ниже оси абсцисс и площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью , равна единице.

5.2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Определение.Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу, называют определённый интеграл.

Если возможные значения с.в.Хпринадлежат всей оси, то.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины.

Определение.Если возможные значения с.в., то

.

Если значения с.в.принадлежат всей оси, то. Формула для расчёта дисперсии имеет вид:

.

Все свойства и, рассмотренные для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Среднеквадратическое отклонение.

Пример 5.3.Непрерывная случайная величина задана в видеНайти значение,,,.

Решение. По свойству нормированности . Найдем значение параметраС, решив несобственный интеграл, т.е., отсюда.

Математическое ожидание найдем по формуле . Получаем

.

Дисперсия равна

.

.

5.3. Нормальный закон распределения

Определение.Непрерывная случайная величинаимеетнормальный законраспределения, если её плотность вероятности имеет вид:

, где и- параметры распределения.

Параметры ипредставляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины, т.е.

, .

Отсюда .

В частном случае при .

Рассмотрим график этой функции (рис. 5.2).

1) Кривая пересекает ось в точке. Она является точкой максимума.

2) С осью кривая не пересекается; осьявляется асимптотой, так как

.

3. Кривая симметрична относительно оси , так как функциячётная.

При кривыеполучаются путём сдвига наединиц по горизонтали кривойпри тех же значениях параметра. Еслиувеличивается, то кривая сжимается вдоль оси, с уменьшениемграфик функциивытягивается. Таким образом, параметрхарактеризует положение, а параметр- форму нормальной кривой.

Для нормально распределённой случайной величины функция распределения равна

.

можно представить через функцию , значения которой затабулированы:

- функция распределения для нормального закона.

Геометрически функция распределения представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале , которая состоит из двух частей:Iчасть соответствует площади под кривой на интервале,равной половине всей площади под нормальной кривой;IIчасть соответствует площади под кривой на интервале, равной(рис. 5.3).

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону

1. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервалравна

.

2) Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожиданияне превысит по абсолютному значению величину, равна:

.

Из этого свойства следует «правило трёх сигм».

Рассмотрим

Правило.Таким образом, если случайная величинаимеет нормальный закон распределения с параметрамии, то практически достоверно, что её значения заключены в интервале(рис. 5.4).