Раздел I. Теория вероятностей

Теория вероятностей – это наука, изучающая закономерности массовых случайных событий.

Тема 1. Случайные события

1.1 Классификация событий

Определение.Случайным событиемназывается любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Например: 1) появление герба при бросании монеты,

2) выигрыш автомобиля по билету лотереи,

3) выход бракованного изделия с конвейера завода.

Обозначают события заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, ….

Определение. Событие называетсядостоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Например, извлечение белого шара из ящика, в котором все шары белые.

Определение. Событие называетсяневозможным, если в результате оно вообще не может произойти.

Например, извлечение черного шара из ящика, в котором все шары белые.

Определение. Два случайных события и называютсянесовместными, если появление одного из них исключает появление другого в данном испытании.

Например, выпадение орла и выпадение решки при однократном бросании монеты.

Определение. События и называютсясовместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Например, получение студентом на зкзамене по одной дисциплине оценок отлично, хорошо, удовлетворительно – события несовместные, а получение тех же оценок на экзамене по трём дисциплинам – события совместные.

Определение. События называютсяравновозможными, если в результате испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Например, извлечение туза или короля из колоды карт; появление герба или решки при бросании монеты.

Определение. Несколько событий образуютполную группу, если они попарно несовместны и в результате испытания появится только одно из этих событий.

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события.

Определение. Два несовместных события, из которых в результате испытания одно должно обязательно произойти, называютсяпротивоположными.

Обозначают противоположные событияи.

Например, при выстреле из ружья попадание – событиеи промах - событие; при бросании монеты выпадение орла – событиеи выпадение решки – событие.

1.2. Вероятность событий

Для количественной оценки возможности появления случайного события вводится понятие вероятности. Существует два подхода к определению вероятности в зависимости от возможности проведения опыта. Если оценка осуществляется без опыта, то вероятность называется классической и обозначается . Если есть возможность провести опыт, то вероятность называется статистической и обозначается .

Определение. Вероятность события равна отношению числа случаев благоприятствующих ему к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных случаев, образующих полную группу

,

где - число случаев благоприятствующих событию;– общее число всех возможных элементарных случаев.

Пример 1.1. Бросается игральная кость. Какова вероятность появления чётного числа очков?

Решение. Обозначим через событие = {появление чётного числа очков}. Общее число исходов .Число случаев благоприятствующих событию . Тогда вероятность появления четного числа очков равна.