Сопромат (Методичка)
.pdf
31
32
Работа №2
Моменты инерции плоских фигур
Задание
Определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.
Таблица 2.1 – Номера вариантов и виды профилей
|
|
|
Вид профиля |
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
75×50×8 |
63×40×6 |
63×63×6 |
12 |
10 |
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
90×56×8 |
75×50×6 |
70×70×8 |
14 |
12 |
10 |
6,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
100×63×8 |
80×50×6 |
75×75×8 |
16 |
14 |
12 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
110×70×8 |
90×56×6 |
80×80×8 |
18 |
16 |
14 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
125×80×8 |
100×63×6 |
90×90×8 |
18а |
18 |
14а |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
141×90×8 |
110×70×7 |
100×100×8 |
20 |
18а |
16 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
90×56×8 |
75×50×6 |
70×70×8 |
12 |
10 |
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
75×50×8 |
63×40×6 |
63×63×6 |
14 |
12 |
10 |
6,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
100×63×8 |
80×50×6 |
75×75×8 |
14 |
12 |
10 |
6,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
110×70×8 |
90×56×6 |
80×80×8 |
16 |
14 |
12 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в таблице 2.1 поставлена буква Б при том или ином профиле, то нужно брать больший профиль из помещенных в таблице, при букве М – меньший профиль. При выполнении задания следует пользоваться сортаментом стального проката [1 – 4].
33
Пример решения
Определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.
Дано: сечение состоит из неравнобокого уголка №7,5/5; 75×50×5 с
параметрами JХ2 = 12,5 см4; JY2 = 34,8 см4; d2 = 75 мм; t2 = 5 мм; А2 = 6,11 см2; JXY
= 2,59 см4; y0 = 1,17 см; х0 = 2,39 см и прямоугольника с параметрами h1 = 12
мм; m1 = 70 мм (рисунок 1).
Решение:
1. Определяется центр тяжести сечения относительно произвольно выбранных осей x0y0 (рисунок 2.1)
Координаты центра тяжести сечения:
xC |
= |
|
A1 xC1 + A2 xC 2 |
= |
5,11 6,11 +10,5 7 1,2 |
=8,23см =8,23 10-2 |
м; |
||||
|
|
|
6,11 + 7 1,2 |
||||||||
|
|
|
|
A1 + A2 |
|
|
|
||||
y |
|
A1 yC 2 |
= |
1,17 |
|
=3,73 см =3,73 10-2 м. |
|
||||
|
|
8,4 + 7,25 |
|
||||||||
|
C A + A |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Определяются осевые моменты инерции относительно центральных осей
XcYc:
J |
XC |
= J I |
|
+ J II |
= (J |
XC1 |
+ a2 |
A )+(J |
XC 2 |
+ a2 |
A )= |
|
||||||
|
XC |
XC |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
||||||||
= |
|
7 1,23 |
+(5,6 −3,73)2 1,2 7 +12,5 +(3,73 −1,17)2 6,11 =82,92см4 = 82,92 10−8 м4 ; |
|||||||||||||||
|
|
12 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
YC |
= J I |
|
+ J ii |
= (J |
YC1 |
+b2 A )+(J |
YC 2 |
+b2 A )= |
|
||||||||
|
YC |
|
YC |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|||||||
= |
1,2 73 |
+ 2,272 1,2 7 +34,8 +3,122 6,11 =171,86 сс 4 |
=171,86 10−8 м4 . |
|||||||||||||||
|
|
12 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центробежный |
|
момент |
прямоугольника |
относительно собственных |
|||||||||||
центральных осей равен нулю, так как эти оси являются также и осями симметрии, следовательно: J XC1YC 2 =0 .
Центробежный момент всего сечения:
J XCYC =1,87 2,27 1,2 7 + 2,59 +(−2,56) (−3,12) 6,11 = 29,33см4 = 29,33 10−8 м.
3.Определяется угол поворота главных центральных осей относительно осей
XCYC:
34
tg2б = |
2J XCYC |
= |
2 29,33 |
= 0,66; б =16,50 . |
|
171,86 −82,92 |
|||
|
JYC − J XC |
|
||
Рисунок 2.1 – Расчетная схема
4.Определяются max и min моменты инерции относительно главных центральных осей u и v:
J minU |
= |
|
J XC |
+ JYC |
|
− |
1 |
|
(J XC |
− JYC )2 |
+ 4J |
||
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V |
|
|
J XC |
+ JYC |
|
|
1 |
(J XC |
− JYC ) |
2 |
|
||
J max |
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ 4J |
||
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
XCYC2 = 74,08 10−8 м4 ;
XCYC2 =180,63 10-8 м4 .
5. Проверка: JmaxV + JminU = J XC + JYC
82, 92 +171,86 = 74,08 +180,63; 254,7 = 254,7.
35
Расчетная схема
36
37
38
39
40