Сопромат (Методичка)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра сопротивления материалов и строительной механики

Сопротивление материалов.

Часть I. Расчёт основных деформаций

Методические указания и задания к выполнению практических и домашних расчетно-графических работ для студентов всех технических специальностей

Новокузнецк

2011

1

УДК620.17 С64

Рецензент доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической

механики СибГИУ Э.Я. Живаго

С64 Сопротивление материалов. Часть I. Расчёт основных деформаций : метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост. : А.Г. Никитин и др. – 2-е изд., перераб. и доп. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2011. – 82 с.

Представлены четыре темы курса сопротивления материалов по расчёту основных деформаций. В каждой теме даны задания, а также примеры решения и оформления работы.

Предназначены для студентов всех технических специальностей.

	Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
Работа 1.	Расчёт статически неопределимой системы . . . . . . . . .	4
Работа 2.	Моменты инерции плоских фигур. . . . . . . . . . . . . . . . .	33
Работа 3.	Расчёт статически определимой балки. . . . . . . . . . . . . .	47
Работа 4.	Расчёт статически неопределимой балки . . . . . . . . . . .	64
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		82

2

Предисловие

Сопротивление материалов как одна из естественных дисциплин занимает важное место в подготовке инженеров любой специальности. Для успешного усвоения курса необходимо приобрести твёрдые навыки в решении конкретных задач, поэтому в учебных планах вузов выделяется достаточно большое количество часов на самостоятельную работу. Эти часы должны быть использованы с максимальной эффективностью как во время аудиторных занятий, так и вне их.

В настоящий сборник включены задания по различным темам расчёта основных деформаций. По каждой теме даются варианты, расчётные схемы и примеры решения задач. Варианты и расчётные схемы в каждом разделе имеют свой числовой шифр. Каждый студент определяет свой номер расчётной схемы и вариант следующим образом: номер расчётной схемы берётся по трём последним цифрам номера зачётной книжки, причём если третья с конца цифра чётная, то первая цифра номера расчётной схемы берётся 0, если третья с конца цифра нечётная, то первая цифра номера расчётной схемы берётся 1. Вариант определяется по четвёртой с конца цифре зачётной книжки. Например, если номер зачётной книжки 123456, то номер расчётной схемы 056, номер варианта

– 3.

Работа выполняется на бумаге формата А3 (297×420). Штамп вычерчивается в следующем виде:

	Название темы			Номер схемы _________
				Вариант _____________
Кафедра сопротивления материалов и				СибГИУ
строительной механики				гр.
Принял		(подпись)	Ф.И.О.
Выполнил		(подпись)	Ф.И.О.

3

Работа №1

Расчет статически неопределимой системы

Задание

Жесткий брус АВ, весом и деформацией которого пренебрегаем, прикреплен к неподвижной опоре и к двум стержням при помощи шарниров.

Определить напряжения в стержнях при следующих данных.

Задача 1. Расчёт системы при действии внешней силы

Стержни стальные с А1 = 8·10-4 м2, А2 = 10-3 м2. В правом крайнем шарнире бруса АВ приложена вертикальная сила F = 80 кН, направленная вниз ( на схеме не показана).

Задача 2. Расчёт системы с учётом неточности изготовления стержней

Стержни стальные с площадью поперечного сечения А1 = 10-3 м2 и А2 = 1,2·10-3 м². Первый стержень изготовлен короче проектного размера на величину δ = 2мм, модуль упругости первого рода Е = 2·105 МПа.

Задача 3. Расчёт системы с учётом перепада температур

Первый стержень стальной, второй медный. Площадь поперечного сечения А1 = А2 = 1,5 ·10-3 м2. Система после сборки получила отрицательный перепад температуры ∆t = –500С.

Модули упругости Ес = 2·105 МПа, Ем = 105 МПа, коэффициенты линейного расширения бс = 125·10 −7 град-1, бм = 160·10 −7 град-1.

Пример решения

Задача 1.

Стержни стальные с А1= 8·10-4 м2, А2 = 10-3 м2. В правом крайнем шарнире бруса АВ приложена вертикальная сила F = 80 кН, направленная вниз.

	Дано: а = 1 м, А1 = 8·10-4 м2, А2 = 10-3						м2, F = 80 кН, Е = 2·1011 Н/м2.
	Определить: σ1 и σ2.
	Решение: из рисунка 1.1:
sin б1 =			a	=	1 ; cosб2 =	2a	=	2 .
			4a2 + a2		5	4a2 + a2		5
tgб1 =		a	, tgб2 =	a	б1 = б2 .
		2a		2a

4

Рисунок 1.1 – Расчетная схема

По определению:

у1 =	N1	; у2 =	N2	;
	A1		A2

где N1 – растягивающая внутренняя сила в стержне 1;

N2 – сжимающая внутренняя сила в стержне 2;

А1 и А2 –площади поперечных сечений соответственно 1 и 2 стержней. Уравнение равновесия моментов относительно точки А:

∑M A =0; N1 а cosб1	+ N2 а sin б2 − F 2а =0;	(1.1)
Тогда
N1 cosб1 + N2 2 sin б2	− 2F =0;	(1.1а)

Представим систему в деформированном виде (рисунок 1.2). Рассмотрим подобные треугольники АСС1 и АВВ1, откуда:

BB1

=

AB

=

2а

= 2.

(1.2)

CC

AC

а

1

Дl1

Дl2

Из рисунка 1.2 видно, что:

СС

=

;

BB

=

, тогда, подставляя

1

cosб

1

sin б

эти значения в уравнение (1.2), получим уравнение совместности деформаций:

	Дl2	cosб	= 2; или Дl2	cosб = 2Дl1 sin б.	(1.2а)
	sin б Дl1
					5

Рисунок 1.2 – Система в деформированном виде

По

закону

Гука:

Дl

=

N1l1

;

Д

2

=

N2l2

.

Так

как

из рисунка

1.1:

1

EA1

EA2

2a

a

l

=

; l

=

, то:

cosб

sin б

1

2

Дl

=

N1 2a

; Д

2

=

N2 a

.

1

EA1 cosб

EA2 sin б

Подставляя полученные значения в уравнение (1.2а) получим:

N2

a cos

б

=

2N1 2

a sin

б

,

или

N2

=

4

N1

A2

sin 2 α

.

(1.2б)

E

A

sin б

E

A

cos б

A

cos2 α

2

1

1

Подставляя выражение (1.2б) в уравнение (1.1а) получим:

N1 cosб +

4 N A

sin 2 б

2sin б − 2F

=0;

(1.3)

1

2

A

cos2

б

1

Решая

полученное

уравнение

относительно

N1,

учитывая,

что

sin б = 15 ; cosб = 25 , получим:

6

N

=

F

=

80 103

= 40 103

Н = 40кН;

1

4A

sin 2 б

2

10

−3

cosб +

2sin

б

(1 +

)

2

A1

cos2 б

5

8 10−4

Из уравнения (1.2б)

N2 = 50 кН. Тогда:

у1

=

N1

=

40 103

= 5 107 Па = 50МПа;

A

8 10−4

1

у2

=

N2

=

50 103

= 5 107 Па = 50МПа.

A

10−3

2

Задача 2.

Стержни

стальные с

А1=

10-3

м2,

А2 = 1,2·10-3 м2. Первый стержень

изготовлен короче проектного размера на величину δ =3·10-3 м, модуль упругости Е = 2·105 МПа.

	Дано: а = 1 м,			А1= 10-3 м2, А2 = 1,2·10-3 м2, δ =3·10-3 м, Е = 2·105 МПа.
	Определить: σ1 и σ2.
	Решение: из рисунка 1.3:
sin б1	=	a	=	1 ; cosб2 =	2a	=	2	; б1 = б2 =б.
		4a2 + a2		5	4a2 + a2		5

Рисунок 1.3 – Расчетная схема

7

По определению:

у1 =	N1	; у2 =	N2	;
	A1		A2

где N1 – растягивающая внутренняя сила в стержне 1;

N2 – сжимающая внутренняя сила в стержне 2;

А1 и А2 – площади поперечных сечений соответственно 1 и 2 стержней. Запишем уравнение равновесия моментов относительно точки А:

∑M A =0 = N1а cosб-N2 2 а sin б.	(1.4)
Из уравнения (1.4), так как cosб = 2sin б,	имеем:
N1 = N2 = N .	(1.4а)

Представим систему в деформированном виде (рисунок 1.4). Рассмотрим подобные треугольники АСС1 и АВВ1, откуда:

	CC1	=	AC	=	1 .	(1.5)
	BB		AB
					2
	1

Рисунок 1.4 – Система в деформированном виде

Из рисунка 1.4 видно, что: CC =		д − Дl1	;	BB	=	Дl2	, тогда, подставляя
1		cosб		1		sin б
	8

эти значения в уравнение (1.5), получим уравнение совместности деформаций:

2(д− Дl1 )sin б = Дl2 cosб.

(1.5а)

По закону Гука: Дl

=

N1l1

; Д

2

=

N2l2

.

1

EA1

EA2

Подставляя

эти

выражения

в

уравнение (1.5) и, учитывая, что

l

=

2a

; l

=

a

и

Дl

=

N 2a

;

Д

=

Na

, получаем:

cosб

sin б

EA cosб

EA sin б

1

2

1

2

1

2

д−

Nl1

=

Nl2

.

(1.6)

EA

EA

1

2

относительно N, получаем:

Решая уравнение (1.6)

N1 = N2 = N =

д

=

3 10−3 м3

=36кН.

l

1

1

2

1

1

(

+

)

+

11

10

−4

10

−3

Тогда:

E

A2

A1

2 10 12

у1 =

N1

=36 МПа;

у 2 =

N 2

= 30 МПа.

A2

A1

Задача 3.

Первый стержень стальной, второй медный. Площадь поперечного сечения А1 = А2 = 0,015 м². Система после сборки получила положительный перепад температуры ∆t = 500С. Модули упругости Ес = 2·105 МПа, Ем = 105

МПа, коэффициенты линейного расширения αс = 125·10 −7 град-1, αм = 160·10 −7
град-1.
Дано: а = 1 м,			А1 = А2 = 0,015 м2, ∆t			= 500С; Ес = 2·105 МПа, Ем = 105
МПа, αс = 125·10 −7 град-1, αм = 160·10 −7					град-1.
Определить: σ1 и σ2.
Решение: из рисунка 1.5:
sin б1 =	a	=	1 ; cosб2 =	2a	=	2 ; б1 = б2 =б,
	4a2 + a2		5	4a2 + a2		5

lM =lC = а 5 =1 5 5 = 2,24 м.

По определению:

у1 =	NC	; у2	=	NM	;
	AC			AM

9

где Nс – внутренняя сила в стальном стержне;

Nм – внутренняя сила в медном стержне;

Ас и Ам – площади поперечных сечений соответственно стального и медного стержней.

Рисунок 1.5 – Расчетная схема

Запишем уравнение равновесия моментов относительно точки А:

∑M A =0 = −NC а cosб + NM 2 а sin б,	(1.7)
Из уравнения (1.7), так как cosб = 2sin б, имеем:

NC = NM = N .

(1.7а)

Представим систему в деформированном виде (рисунок 1.6). При нагреве на 500С стальной стрежень удлинился бы на величину ДlCt , если бы ему не препятствовал медный стержень, что и показано на рисунке 1.6а. А медный стержень удлинился бы на величину ДlМt , если бы ему не мешал

стальной стержень (рисунок 1.6б). Так как коэффициент термического расширения ( ЕC · бC ·lC ) стали больше, чем меди, то брус в конечном итоге

переместится вниз, как показано на рисунке 1.6в. И деформации медного и

стального стержней будут иметь меньшие значения на величины ДlN						и ДlN
					М	C
соответственно, следовательно, оба стержня работают на сжатие.
	BB1		Теперь рассмотрим подобные треугольники АСС1 и АВВ1		откуда:
		=	AB	= 2a ;	(1.8)
			AC
	CC			a
1

10