Примеры решения задач
Пример 1. Два одинаковых маленьких шарика имеющих заряды q1 = 10-3 Кл и
q2= - 0.3·10-3 Кл, приведены в соприкосновение и затем раздвинуты на расстояние r = 20 см. Найти силу взаимодействия между ними.
Решение: После соприкосновения на обоих шариках заряды стали одинаковыми, так как одинакова ёмкость шариков. На основании закона сохранения зарядов заряд каждого из шариков после соприкосновения будет
Сила взаимодействия между ними ,
Пример 2. Два одинаковых заряженных шарика массой m, подвешенные на нитях равной длины, опускаются в жидкий диэлектрик, плотность которого ρ1 и диэлектрическая проницаемость ε1. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы углы их расхождения в воздухе и диэлектрике были одинаковы?
Дано: m, ρ1, ε1, α.
Найти: ρ
Решение: До погружения в жидкий диэлектрик, т.е. в воздухе, на каждый шарик (рис.а) действуют сила тяжести , кулоновская силаи сила натяжения нити. При равновесии шариков
++= 0
После погружения в жидкий диэлектрик на каждый шарик (рис. б) действуют сила тяжести , кулоновская сила, выталкивающая (архимедова) силаи сила натяжения нити. При равновесии шариков
+++= 0
Кулоновская сила отталкивания шариков в воздухе (из треугольника на рис а)
Fк=mgtgα, (1)
в диэлектрике –
Fк1=(mg- FА)∙tgα, (2)
(учли выталкивающую силу). В диэлектрике кулоновская сила уменьшается в ε1 раз, так что
(3)
Тогда
(4)
Поделив (4) на (1), получим
(5)
По закону Архимеда
FA= ρ1Vg,
где ρ1 – плотность жидкого диэлектрика; V – объём шарика; g- ускорение свободного падения. Масса шарика m=ρV, где ρ– плотность материала шарика.
Подставив эти выражения в формулу (5), получим
,
Откуда искомая плотность материала шарика
.
Ответ:
Пример 3. Три точечных отрицательных заряда Q=-3нКл каждый находятся в вершинах равностороннего треугольника. Определите, какой заряд Q0 следует поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии.
Дано: α=60º, Q=-3нКл=-3∙10-9Кл.
Найти: Q0
Решение: Рассмотрим силы, действующие на заряд Q в одной из вершин треугольника (см.рисунок) со стороны зарядов Q, находящихся в двух других вершинах треугольника:
и (1)
эти силы равны (F1=F2) и направлены под углом α=60º друг от друга.
Чтобы рассматриваемый заряд Q находился в равновесии, в центр треугольника следует поместить положительный зарядQ0, действующий на заряд Q. Условие равновесия рассматриваемого заряда Q имеет вид:
++=0
откуда следует (при условии F1=F2), что
Или, учитывая выражение (1),
Поскольку , можно записать
.
Учитывая, что (см.рисунок), получаем
Откуда искомый заряд
Поскольку система находится в равновесии, заряды, находящиеся в двух других вершинах треугольника, будут также в равновесии. На заряд Q0, помещённый в центр треугольника, действуют три одинаковых силы, направленных под углом 2α (см. рисунок) и равные по величине. Равнодействующая этих трёх сил равна нулю, поэтому заряд Q0 также будет находиться в равновесии.
Ответ: Q0=1,73нКл.
Пример 4. Расстояние ℓ между двумя точечными зарядами Q1=2нКл и Q2=-3нКл, расположенными в вакууме, равно 20см. Определите напряжённость Е в точке А, удалённой от первого заряда на расстояние r1=15см и от второго заряда на r2=10см.
Дано: ℓ=20см=0,2м, Q1=2нКл=2∙10-9Кл, Q2=-3нКл=-3∙10-9Кл; r1=15см=0,15м, r2=10см=0,1м
Найти: Е.
Решение. Согласно принципу суперпозиции,
(направления векторов показаны на рисунке). Напряжённости электрического поля, создаваемые в вакууме зарядами Q1 и Q2,
(1)
Модуль вектора находится по теореме косинусов:
(2)
где
Подставив (1) в формулу (2), найдём искомую напряжённость в точке А:
Ответ: Е=3кВ/м
Пример 5. Тонкое проволочное кольцо радиусом R=4см равномерно заряжено с линейной плотностью τ = 1нКл/м. Определите напряжённость Е электростатического поля в вакууме на оси, проходящей через центр кольца, в точке, удалённой на расстояние r=6см от центра кольца.
Дано: τ = 1нКл/м=1∙10-9Кл/м; R=4см=4∙10-2м; r = 6см = 6∙10-2м
Найти: Е.
Решение. Разобьём кольцо на бесконечно малые элементы dℓ. Заряд такого элемента
dQ= τ∙dℓ
и этот элемент создаёт в рассматриваемой точке электростатическое поле напряженностью
,
где τ – линейная плотность заряда; а – расстояние от элемента dℓ кольца до точки А, где следует определить напряжённость поля. Вектор направлен вдоль линииа.
Для определения напряжённости электростатического поля в данной точке А следует геометрически сложить от всех элементов кольца. Векторразложим на два компонента:и(см.рисунок). Геометрическая сумма всехбудет равна нулю (от каждых двух диаметрально противоположных элементов кольца равна и противонаправлены). Тогда
(учли, что ).
Вектор направлен вдоль оси кольца, как показано на рисунке.
Ответ: Е=136В/м
Пример 6. Электростатическое поле создаётся в вакууме бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью σ=1мкКл/м2. На некотором расстоянии от плоскости находится плоская круглая площадка радиусом r=10см. Определите поток вектора напряжённости сквозь эту площадку, если её плоскость составляет с линиями напряжённости угол β=30º.
Дано: σ=1мкКл/м2=1∙10-6Кл/м2; r=10см=1∙10-2м; β=30º.
Найти: ФЕ.
Решение. Поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной плоскостью, однородно, и напряжённость электростатического поля
(1)
где σ – поверхностная плотность заряда; ε0- электрическая постоянная.
Поток вектора напряжённости
,
где En=Ecosα (см.рисунок) – проекция вектора на нормальк поверхности площадкиdS. Интегрирование производится по всей поверхности площадки, которую пронизывают линии напряжённости. Следовательно, поток сквозь площадку
ФЕ=EScosα (2)
Из рисунка следует, что . Тогда формула (2) запишется в виде ФЕ=ESsinβ (3)
Подставив в формулу (3) выражение (1) и учитывая, что S=πr2, получим искомый поток вектора напряжённости
Ответ: ФЕ=887 В∙м
Пример 7. Электростатическое поле создаётся шаром радиусом R, равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ. Определите напряжённость Е электростатического поля в вакууме: 1) на расстоянии r >R от центра шара; 2) на расстоянии r' <R от центра шара. Постойте график зависимости Е(r).
Дано: R; ρ; 1) r >R; 2) r' <R
Найти: Е; E(r).
Решение. Поскольку заряд равномерно распределён по шару, поле является центрально-симметричным, т.е. направление вектора в любой точке проходит через центр шара (рис.а), а напряжённость есть функция расстояния r от центра шара. При такой конфигурации поля в качестве произвольной замкнутой поверхности следует выбирать концентрическую сферу. Для всех точек этой поверхности En=E(r)=const.
Согласно теореме Гаусса для поля в вакууме, поток вектора напряжённости электростатического поля
где Q – общий заряд, охватываемый произвольной поверхностью S.
r >R. В качестве замкнутой поверхности постоим сферу радиусом r (см. рис.а), имеющую общий центр с заряженным шаром. В данном случае внутрь поверхности попадает весь заряд, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса,
,
где Q – общий заряд шара в объёме V ( ), откуда искомая напряжённость
(r ≥ R)
r' < R. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим сферу радиусом r' (см. рис. а). Эта сфера охватывает заряд Поэтому, согласно теореме Гаусса,
,
откуда искомая напряжённость
(r' ≤ R).
График зависимости Е(r) представлен на рис.б. Внутри равномерно заряженного шара напряжённость линейно растёт с увеличением расстояния r' от его центра, вне шара напряжённость изменяется по закону . Если r=R (r' =R ), то .
Ответ: 1) (r ≥ R); 2) (r' ≤ R).
.