ФТЯР ЛЕКЦИИ

1

1.ГОМОГЕННЫЙ РЕАКТОР БЕЗ ОТРАЖАТЕЛЯ

ВОДНОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Реальные ЯР в большинстве – гетерогенные. Для них прямой расчет k∞ чрезвычайно сложен. Поэтому задачи решаются следующим образом. Реальная среда гомогенизируется, т.е. заменяется гомогенной, эквивалентной по нейтронно-физическим характеристикам.РассчитываютсяпараметрыгомогенногоЯР(k∞,τ,L,D идр.).Затем определяется kэф гомогенного реактора. После чего рассматривается теория гомогенного реактора, т.е. определяются условия критичности и распределения потоков нейтронов. После чего полученные результаты уточняются с учетом эффектов гетерогенности. Поэтому на первом этапе рассмотрим гомогенный реактор без отражателя.

Корректное рассмотрение даже гомогенного ЯР весьма сложно. Это обусловлено многими факторами, например:

загружается топливо различного обогащения;

это топливо неравномерно выгорает в процессе работы ЯР;

в АЗ всегда в том или ином количестве присутствуют рабочие органы системы управления и защиты (СУЗ).

Влияние стержней СУЗ на нейтронные потоки в ЯР определяется достаточно сложно. Поэтому на первом этапе рассмотрим гомогенный реактор без стержней СУЗ. Пусть ЯР не имеет отражателя, т.е. все нейтроны, вылетевшие за пределы АЗ, обратно не возвращаются. Это означает, что нейтронные потоки Ф (r,Е) в каждой точке имеют только одно значение. Другими словами переменные r и Е и из функции Ф (r,Е) разделяются. Кроме того, будем считать, что размеры АЗ достаточно большие и вклад экстраполированной длины в эффективный размер ЯР мал по сравнению с геометрическими размерами. Отсюда следует, что точный расчет длины линейной экстраполяции нас интересовать не будет. Кстати такой подход имеет реальное место в практике эксплуатации ЯР, особенно энергетических, имеющих достаточно большие размеры.

1.1. Эффективный коэффициент размножения

2

По определению коэффициент размножения есть отношение числа нейтронов данного поколения к числу нейтронов предыдущего поколения, и является количественной характеристикой баланса нейтронов в активной зоне.

В курсе СR-12 был подробно рассмотрен коэффициент размножения для

бесконечной среды k n2	(формула 4-х сомножителей). Он не учи-
n1

тывает геометрического фактора изменения числа нейтронов в АЗ, т.е. их утечку из объема АЗ. Понятно, что для реальных ядерных реакторов (ЯР) этот фактор должен быть учтен, т.к. все они имеют конечные размеры. В этом случае вместо k∞ в рассмотрение вводят эффективный коэффициент размножения kэф, являющийся аналогом k∞ для конечного ЯР и имеющий тот же физический

смысл kэф n2 . n1

Исходя из определения kэф можно представить в следующем виде:

kэф	Rген	, (1)
	Rпог Rут

где Rген, Rпог – интегральные по энергии и объему скорости генерации и поглощения нейтронов в ЯР, соответственно; Rут – интегральная по энергии и поверхности ЯР скорость утечки нейтронов из системы.

Домножим и разделим уравнение (1) на Rпог:

	kэф	Rген		Rпог
		Rпог		Rпог Rут

Первый сомножитель по определению есть k∞, второй показывает вероятность для нейтронов избежать утечки. Обозначив Rпог Rпог Rут P , имеем:

kэф = k∞∙P

Таким образом, kэф есть произведение двух величин: k∞ - определяющимся только свойствами среды и P – слабо зависящая от энергии нейтронов и свойств среды (для данной среды), и определяемая в основном геометрическими характеристиками. Если kэф <1, то ЯР подкритический; kэф>1, то ЯР надкритический; kэф =1, то ЯР критический. Отсюда следует, что имеется размножающая среда с

3

k∞>1, то, подбирая форму и размеры этой среды, можно добиться того, что kэф =1. Размеры, при которых kэф =1, называются критическими.

1.2. Уравнение реактора в одногрупповом приближении

Как отмечалось, важнейшей задачей физики ЯР является нахождение простан- ственно-энергетического распределения потока нейтронов. Поэтому важно получить исходное уравнение, решение которого позволит получить искомое распределение. В курсе «Теория переноса» было рассмотрено диффузионно-возрастное приближение, суть которого состоит в следующем: в размножающей среде замедляющиеся (надтепловые) нейтроны испытывают только замедление, а тепловые нейтроны – только диффузию. При этом поведение замедляющихся нейтронов описывалось уравнением возраста, а поведение тепловых – уравнением диффузии.

Так как одногрупповое приближение подразумевает то, что все процессы в ЯР обусловлены тепловыми нейтронами, то уравнение диффузии и является тем искомым уравнением для потоков нейтронов. Вместе с тем тепловые нейтроны рождаются при замедлении надтепловых, следовательно для корректного решения необходимо рассмотреть не отдельно уравнение диффузии, а рассмотреть это уравнение совместно с уравнением возраста.

Сделаем ряд допущений. Пусть среда ЯР слабопоглощающая (что соответствует большим реакторам). Тогда предположим, что захват нейтронов в процессе замедления отсутствует, следовательно, поведение замедляющихся нейтронов

можно описать уравнением возраста без учета поглощения: j r, j r, 0,

где j r, плотность замедления, τ – возраст нейтронов. Кроме того, предположим, что все резонансное поглощение сосредоточено на границе раздела тепловой и замедляющей области, где плотность замедляющихся нейтронов изменяется скачком в раз ( - вероятность избежать резонансного захвата), следовательно, часть замедляющихся нейтронов не избежит резонансного поглощения. Таких нейтронов будет 1 j r, . Другая часть замедляющихся нейтронов избежит резонансного поглощения и станет источником тепловых нейтронов: j r, .

4

Таким образом, для корректного получения требуемого уравнения надо рассмотреть уравнение диффузии совместно с уравнением возраста:

j r,	j r,	0,	(1)
D Ф r aФ r j r, 0,			(2)

где (r) –поток тепловых нейтронов.

Для окончательной постановки задачи необходимо задать начальные условия. В качестве начального условия используется выражение для скорости генерации быстрых нейтронов при делении. Известно, что рожденные в делении быстрые нейтроны имеют возраст = 0. Таким образом, начальное условие может быть записано как выражение для плотности замедления при = 0: j r,0 . Определим его. Известно, что рождение нейтронов в процессе деления обусловлено поглощением тепловых нейтронов. Прежде чем в делении родится быстрый нейтрон, тепловой нейтрон должен поглотиться в топливе и затем вызвать деление. Согласно формуле 4-х сомножителей вероятность этого равна . При этом сами быстрые нейтроны могут вызывать рождение новых быстрых нейтронов (вероятность такого - µ). Следовательно, вероятность рождения

быстрого нейтрона при поглощении одного теплового составляет k .

Скорость поглощения тепловых нейтронов в единице объема в единицу времени (количество поглощенных тепловых нейтронов) составляет aФ r . Таким

образом, начальное условие выглядит следующим образом: j r,0 aФ r k .

Перейдемкрассмотрениюсистемыуравнений(1)и(2).Первоначальнорассмотрим уравнение(1).Пустьвфункции j r, переменныеразделяютсяследующимобразом:

	j r, Ф r X							(3).
Подставим (3) в (1) и разделим переменные:
	Ф r			1 X			.	(4)
	Ф r			X

5

Видно, что в (4) в левой части стоят функции, зависящие только от r, а в правой

– только от . Такое уравнение будет иметь решение, если каждая часть равна постоянной. Приравняем каждую часть (4) к постоянной вида ( 2 ) и получим:

Ф r 2Ф r 0,

X 2 ,

X

Уравнение (6) решается методом прямого интегрирования ln X 2 C X X 0 exp( 2 ).

Величина X(0) определяется из начального условия:

j r,0 Ф r X 0 aФ r k X 0 a

Окончательно выражение (7) принимает вид:

X a k exp( 2 ).

(5)

(6)

(7)

k

Тогда функция плотности замедления будет выглядеть следующим образом:

j r, Ф r X Ф r a	k	exp( 2 ).	(8)

Подставим (8) в уравнение (2)

D Ф r aФ r Ф r a k exp( 2 ) 0.

Приведем подобные слагаемые, разделим обе части на D:

Ф r Da Ф r k exp( 2 ) 1 0,

	2		D		a		1
зная, что квадрат длины диффузии L								, имеем
			a		D		2
							L
k exp( 2 ) 1
Ф r		Ф r 0.						(9)
	2
	L

Таким образом, выражение (9) есть уравнение диффузии с учетом уравнения возраста, и при его решении можно найти искомое распределение потока нейтронов в ЯР в рамках одногруппового приближения. Сравнивая выражение

6

(9) с выражением (5), видно, что выражение (5) также является исходным уравнением для ЯР в одногрупповом приближении. При этом сравнении можно установить, что

2		k exp( 2 ) 1	.	(10)
		L2

Видно, что параметр 2, определяемый трансцендентным уравнением (10) зависит только от материального состава ЯР и поэтому называется материальным параметром. В свою очередь уравнение (5) Ф r 2Ф r 0, где матери-

альный параметр 2 определяется из решения уравнения (10), называется уравнением реактора в одногрупповом приближении (или волновым уравнением).

С практической точки зрения важным является случай, когда рассматривается большой реактор, в котором геометрические размеры много больше пробегов нейтронов. Это значит, что справедливо выражение τ<<R2 (R - геометрические размеры системы). Тогда функция экспоненты в выражении (10) изменяется слабо и ее с хорошей точностью можно разложить в ряд, ограничившись пер-

вым непостоянным членом разложения:															exp( 2 ) 1 2 . Подставляя это в
выражение (10) получаем:
2	k		exp( 2 ) 1					k		k				2 1				2	k		1	(11)
			2										2
																			2	k
			L										L						L
При k∞ , близком к 1, выражение (11) еще более упрощается:
				2				k		1				k 1			,	(12)
								2							M	2
								L

где M2 – площадь миграции нейтронов в процессе замедления и диффузии.

1.3.Условие критичности гомогенного реактора без отражателя

водногрупповом приближении.

Вфизике ЯР важной составляющей является нахождение критических пара-

метров ЯР. Эти параметры могут быть найдены на основании неких критериев, рассмотрению которых мы посвятим данный раздел. Исходным условием для определения указанных критерием может служить тот факт, что в критическом ЯР отсутствует изменение параметров во времени.

7

	Запишем нестационарное уравнение диффузии:
	D Ф r,t aФ r,t S r,t			1 Ф r,t
				V		t
	Разделим обе части на D и проведем преобразования левой части уравнения так,
	как это было в предыдущем параграфе.
	Ф r,t 2Ф r,t	1	Ф r,t			(1)
			t
	VD

Применительно к уравнению (1) реактор станет критическим, когда прекратиться изменение потока нейтронов во времени, то есть уравнение (1) перейдет к стационарному уравнению ЯР Ф r 2Ф r 0. Следовательно, если будут найдены условия такого перехода, то эти условия и будут являться условиями критичности ЯР.

Вернемся к уравнению (1). Пусть переменные в функции Ф(r,t) разделяются следующим образом:

Ф(r,t) (r)exp( t) (2)

Подставим (2) в (1)

exp( t) (r) 2 (r)exp( t) VD1 (r)exp( t)

						2
		(r) (r)								0
								VD
Обозначим		выражение	в	скобках						следующим	образом:
B2 2		2 B2 VD	(3).
VD
Тогда получаем (r) B2 (r) 0.					(4)

Общее решение уравнения (4) представим в виде разложения по системе собственных функций (задача Штурма-Лиувилля):

(r) An n (r),

n 0

где каждой собственной функции Ψn(r) соответствует собственное число Bn и справедливо уравнение:

n (r) Bn2 n (r) 0.

8

При этом собственные числа располагаются в следующей последовательности:

	0 B2	B2	B2	... B2 ...	(5)
	0	1	2	n
Видно, что B2	- наименьшее собственное число.
0
Таким образом, в окончательном виде решение уравнения (1) имеет вид:
	Ф(r,t) An n		(r)exp( nt),		(6)

n 0

где в соответствии с выражением (3) n 2 Bn2 VD .

Проанализируем полученное решение (6) при различных соотношениях между 2 и Bn2 при t→∞.

1. 2 B02 . Тогда решение (6) примет вид:

Ф(r,t) A0 0(r)exp B02 B02 VDt A1 1(r)exp B02 B12 VDt ...

В первом слагаемом показатель экспоненты равен 0, сама экспонента равна 1, а все первое слагаемое равно A0Ψ0(r). Во втором и последующих слагаемых показатель экспоненты является отрицательным согласно (5), следовательно, при t→∞ экспоненты в этих слагаемых будут стремиться к нулю, а значит и сами эти слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, в случае 2 B02 при t→∞ решение (6) имеет вид:

Ф(r,t) A0 0 (r ) Ф(r ).

Другими словами, в этом случае нестационарное уравнение становится стационарным, и реактор переходит в критическое состояние.

2. 2 Bl2 (l>0). Тогда решение (6) примет вид:

l 1	VDt Al l (r)		VDt
Ф(r,t) An n (r)exp Bl2 Bn2		An n (r)exp Bl2 Bn2
n 0		n l 1

Имеем три типа слагаемых. Первый тип – все слагаемые с номером до l-1 включительно. В этих слагаемых показатель положителен согласно (5), следовательно, экспоненты в слагаемых этого типа при t→∞ будут неограниченно возрастать, и сами слагаемые также будут неограниченно возрастать. Второй тип – слагаемое с номером l. Оно при всех t равно Al l (r). Третий тип – слагаемые с номерами, больши-

9

ми, чем l. В них показатели экспонент отрицательны, следовательно, при t→∞ сами экспоненты стремятся к нулю, и сами слагаемые также стремятся к нулю.

Таким образом, в рассматриваемом случае функция потока при t→∞ неограниченно возрастает Ф(r,t) →∞, а сам реактор становится надкритическим. 3. 0 2 B02 . Тогда решение (6) примет вид:

Ф(r,t) An n (r)exp Bn2 2 VDt

n 0

Во всех слагаемых ряда показатели экспонент отрицательны. Следовательно, при t→∞ экспоненты стремятся к нулю, и сами слагаемые также стремятся к нулю. Таким образом, в рассматриваемом случае при t→∞ функция потока стремится к нулю, а сам реактор становится подкритическим.

В результате проведенного анализа было установлено следующее: Если 2 B02 , то реактор находится в надкритическом состоянии.

Если 2 B02, то реактор находится в подкритическом состоянии.

Если 2 B02 , то реактор находится в критическом состоянии.

Последнее условие является условием, при котором реактор находится в критике. Опустив индекс "0", B2 принято называть геометрическим параметром ЯР (чуть позже на примерах мы покажем, что это параметр зависит от геометрических параметров реактора). Таким образом, можно сформулировать условие критичности:

В гомогенном ядерном реакторе без отражателя в одногрупповом приближении материальный параметр равен геометрическому:

χ2= B2

(7)

Следовательно, уравнение критического реактора примет вид:

Ф r B2Ф r 0

В соответствии с (7) в критическом ядерном реакторе выражение для мате-

риального параметра 2 k exp( 2 ) 1можно заменить выражением для

L2
геометрического параметра:
B2 k н exp( B2 ) 1	, (8)
L2

10

k н - необходимый (критический) коэффициент размножения для бесконечной среды, т.е. k∞, при котором ЯР заданных размера и формы критичен.

Из (8) определим k н .

k н (1 B2L2)exp(B2 ).

(9)

С другой стороны, пользуясь общим выражением для k эф: k эф = k∞∙P (10), запишем его для критического ЯР: 1=k н ∙P (11). Затем разделим (10) на (11) и подставим (9):

	kэф	k			k
		k н		(1	B2L2 )exp(B2 )

Величина P сокращена, так как речь идет о ЯР заданных размера и формы, только в одном случае он критичен, в другом – нет. Окончательно получаем выражение для эффективного коэффициента размножения в одногрупповом приближении:

	kэф	k exp( B2 )	(12)
		(1 B2L2 )
	Сравнивая (12) с (10) получаем, что вероятность избежать утечки определя-
	ется как:
		2
	P exp( B2 2 ).		(13)
		(1 B L )

С другой стороны, утечка в рамках диффузионно-возрастного приближения обусловлена утечкой замедляющихся нейтронов при замедлении и утечкой тепловых нейтронов при диффузии. Таким образом, вероятность избежать утечки может быть представлена как суперпозиция вероятностей избежать утечки в процессе замедления и вероятности избежать утечки в процессе диффузии:

P=Pзам∙Pдиф. (14)

Анализируя величины, входящие в (13), на основании (14) можно сделать сле-

	дующие выводы: P	exp( B2 ) и P		1	.
				(1 B2L2 )
	зам	диф

Для больших реакторов, как уже рассматривалось, экспоненты в выражении (12) изменяется слабо и ее с хорошей точностью можно разложить в ряд,