7.Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Основные вопросы

Уравнение прямой, проходящей через две точки, канонические и параметрические уравнения. Прямая как пересечение двух плоскостей. Условия пересечения и скрещивание двух прямых. Параллельность и перпендикулярность прямых. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

[1], радел 2,гл.II, §§11-13. [6], раздел 2. гл.VII,§§63-65.

8. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка. Канонические уравнения эллипсоида, гиперболоидов и параболоидов.

Основные вопросы

Определение цилиндрической поверхности. Направляющие и образующие цилиндрической поверхности. Вывод уравнения цилиндрической поверхности в аффинной системе координат. Канонические уравнения цилиндрических поверхностей в прямоугольных декартовых координатах. Канонические уравнения конуса, эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и гиперболического параболоидов. Изучение поверхностей 2-го порядка методом сечений.

9. Центральное проектирование и его свойства. Предмет проективной геометрии. Понятия проективной прямой и плоскости. Модели проективной прямой и проективной и плоскости. Проективные координаты. Уравнение прямой. Теорема Дезарга. Принципы двойственности: на проективной плоскости и в проективном пространстве.

Основные вопросы

Определение центрального проектирования. Инварианты центрального проектирования. Понятие несобственных элементов. Расширенная евклидова прямая и расширенная евклидова плоскость. Модели проективной прямой и проективной плоскости. Координаты точек на проективной плоскости, как упорядоченные пары и тройки чисел. Уравнение прямой. Теорема Дезарга.

[1], радел 3,гл.I, §§1,2,3,8,9. [4], раздел 1.,§1 п.п.1,2.§§3,4,11,14.

[5], гл. 5, §§77-83, §§84-88. [7], раздел 3,гл.1, §§1-4, §§7,8.

10.Изображение фигур на плоскости с помощью параллельного проектирования.

Основные вопросы

Параллельное проектирование и его свойства. Доказать, что изображением данного треугольника может служить любой треугольник. Изображение плоских фигур (четырехугольника, трапеции, параллелограмма, окружности). Теорема Польке-Шварца (без доказательства). Изображение пространственных фигур (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара). Основные требования к проекционным чертежам. Определение полного изображения и позиционной задачи. Полнота изображения как достаточный признак разрешимости позиционной задачи.

[1],гл.4, §§28,29,31,33. [7], гл.3.§§26-29,31.

[8], гл. 1, §§1,2,5,6; гл.2, §§7,9.

11.Аксиоматический метод. Понятие об интерпретации, модели системы аксиом. Системы аксиом евклидовой геометрии. Системы аксиом школьного курса геометрии (обзор). Эквивалентность систем аксиом.

Основные вопросы

Аксиоматика Евклида. Аксиоматика Гильберта и Вейля. Обзор аксиоматики школьного курса геометрии. Сформулировать теорему об их эквивалентности.

[1],гл.2, §5,гл.3 §§10,11.

[5], гл. 2, §§1-8. [7], гл. 9, §§73,75.