- •3 Часть - геометрия
- •1.Трехмерное векторное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.
- •2.Метод координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное расположения прямых на плоскости.
- •3.Движения на плоскости и в пространстве: свойства, способы задания, инварианты движения. Группа движений плоскости и пространства. Основные теоремы о движениях на плоскости.
- •4. Подобие и гомотетия на плоскости и в пространстве.
- •6.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
- •7.Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых в пространстве.
- •8. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка. Канонические уравнения эллипсоида, гиперболоидов и параболоидов.
- •10.Изображение фигур на плоскости с помощью параллельного проектирования.
- •11.Аксиоматический метод. Понятие об интерпретации, модели системы аксиом. Системы аксиом евклидовой геометрии. Системы аксиом школьного курса геометрии (обзор). Эквивалентность систем аксиом.
- •12.Плоскость Лобачевского. Аксиомы плоскости Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Угол параллельности. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского.
- •Системы аксиом плоскости Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости
- •13.Длина отрезка. Аксиомы длины. Площадь многоугольника. Аксиомы площади. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
- •14.Понятие линии. Гладкие линии в трехмерном евклидовом пространстве, их параметризация с помощью вектор-функции. Касательная. Длина дуги.
- •15.Понятие поверхности. Гладкие поверхности, их параметризация с помощью
- •Литература
12.Плоскость Лобачевского. Аксиомы плоскости Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Угол параллельности. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского.
Основные вопросы
Системы аксиом плоскости Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости
Лобачевского и их свойства. Угол параллельности, функция Лобачевского, ее свойства. Модели плоскости Лобачевского (Бельтрами, Клейна, Кэли-Клейна,Пуанкаре). Теоремы о сумме углов треугольника (доказать одну из них). Признак равенства треугольников по трем углам.
13.Длина отрезка. Аксиомы длины. Площадь многоугольника. Аксиомы площади. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
Основные вопросы
Аксиомы длины и площади. Формулировка теоремы о существовании и единственности длины отрезка. Доказательство теоремы о существовании и единственности площади многоугольника. Формулы площади прямоугольника, треугольника, трапеции. Определение равновеликих и равносоставленных фигур. Теорема Гервина-Бойяи о связи равновеликих и равносоставленных фигур на плоскости. Понятие о теореме Дена-Кагана в теории объемов.
[1],гл.4, §§13,14,15,17.
[7], гл. 9, §§73-76. Школьный учебник по геометрии под ред. Л.С.Атанасяна «Геометрия 7-9».
14.Понятие линии. Гладкие линии в трехмерном евклидовом пространстве, их параметризация с помощью вектор-функции. Касательная. Длина дуги.
Основные вопросы
Определение векторной функции одного скалярного аргумента. Векторное и параметрическое уравнения линии. Доказать теорему о существовании касательной к гладкой линии. Формула длины дуги кривой. Параметризация кривой. Сопровождающий трехгранник кривой. Уравнение элементов сопровождающего трехгранника кривой.
[1], раздел 5.гл.2, §§11,12.
[4], гл. 14, §§72,73. [7], гл. 6, §§48-51.
15.Понятие поверхности. Гладкие поверхности, их параметризация с помощью
вектор-функции двух скалярных аргументов. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, теорема о существовании касательной плоскости.
Основные вопросы
Определение векторной функции двух скалярных аргументов. Определение поверхности. Векторное и параметрическое уравнения поверхности. Криволинейные координаты точек на поверхности. Теорема о существовании касательной плоскости к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной различными уравнениями.
Литература
Основная
1. Базылев ВТ., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия: учебное пособие для 1 курса физ.-мат. фак. пед.ин-тов. – Подольск: Просвещение, 2004.
2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2003.
3. Атанасян Л.С. Геометрия, ч. I. - М.,Просвещение, 1973.
4. Атанасян Л.С. , Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. II. - М.,Просвещение, 1975.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: учебное пособие. - М.: Физматлит, 2004.
6. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: учебное пособие для пед. ин-тов, ч.I. - М., Литер, 2008.
7. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: учебное пособие для пед. ин-тов, ч.II. - М., Литер, 2008.
8. Панкратов А.А. Начертательная геометрия. М.Учпедгиз,1959.
9. Мищенко А.М. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии: учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004.
10. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник, 37-е издание, стер. – СПб.: Лань, 2008.
Дополнительная
1. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.I.,ч.II. - СПб.: Специальная литература,1997.
2. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. - М.: Просвещение, 1980.
3. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для пединститутов. - М.Наука,1983.