- •Экономический факультет
- •Содержание
- •1. Пояснительная записка Аннотация
- •2. Общие требования к выполнению расчетно-графической работы
- •3. Методические указания к выполнению работы
- •3.1. Линейное программирование
- •3.1.1. Задача планирования производства
- •Решение типового примера
- •3.1.2. Транспортная задача
- •Решение типового примера
- •3.2. Динамическое программирование
- •3.2.1. Задача распределения средств между инвестиционными проектами
- •Решение типового примера
- •3.2.2. Задача замены оборудования
- •Решение типового примера
- •IV. Задания расчетно-графической работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •V. Список используемой литературы
- •Пример титульного листа
- •Расчетно-графическая работа
3.2.2. Задача замены оборудования
Задача замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т.п.) в процессе его эксплуатации. С течением времени растут производственные затраты на текущий и капитальный ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость.
Поэтому в определенный момент времени возникает необходимость (экономическая целесообразность) замены старого оборудования на новое. Критерием оптимальности являются, как правило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Таким образом, задача состоит в нахождении плана-графика замены старого оборудования на новое в течение планируемого периода эксплуатации.
При построении модели задачи принято считать, что решение о замене выносится в начале каждого промежутка эксплуатации (например, в начале года) и что в принципе оборудование можно использовать неограниченно долго.
Основная характеристика оборудования – параметр состояния – его возраст .
При составлении динамической модели замены процесс замены рассматривают как – шаговый, разбивая весь период эксплуатации на n шагов. Возможное управление на каждом шаге характеризуется качественными признаками, например,(сохранить оборудование),(заменить оборудование).
При решении задачи замены оборудования используются следующие исходные данные:
–период планирования;
–ликвидная стоимость оборудования ();
–стоимость содержания оборудования ();
–первоначальная стоимость оборудования ().
Уравнения состояний системы зависят от управления:
В самом деле, если к -ому шагу, то при сохранении оборудованиячерез год возраст оборудования увеличится на 1. Если оборудование заменяется новым, то это означает, что к началу-ого шага её возраст=0, а после года эксплуатации=1, т.е..
Показатель эффективности -ого шага:
.
Пусть – условные оптимальные затраты на эксплуатацию оборудования, начиная с-ого шага до конца, при условии, что к началу-ого шага оборудование имеет возрастлет.
Тогда уравнения Беллмана будут иметь вид:
Геометрическое решение задачи замены оборудования. Схема расчетов при решении задачи замены оборудования может быть представлена в виде двухкоординатной диаграммы (графа). На оси абсцисс будем откладывать номер шага , на оси ординат – возраст оборудования. Точкана плоскости соответствует началу-го года эксплуатации оборудования возрасталет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на-м шаге показано на рисунке.
Над каждым отрезком, соединяющим точки и, записываются соответствующие управлениюзатраты на сохранение оборудования, а над отрезком, соединяющим точкии, запишем затраты, соответствующие замене оборудования – управлению. Таким образом, будут размечены все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состоянияв состояние.
Решение типового примера
Задание 4
На производственном предприятии «ТИТАН» оборудование эксплуатируется в течение лет, после чего продается (считается, что послелет оборудование в результате морального износа не способно обеспечить выпуск конкурентоспособной продукции). В начале каждого года руководство предприятия принимает решение сохранить оборудование или заменить его новым аналогичным (при этом старое оборудование продается, а вырученные средства направляются на покрытие части стоимости нового оборудования). Первоначальная стоимость нового оборудования составляеттыс. руб., затраты на содержание оборудования –тыс. руб., и ликвидная стоимость оборудования –тыс. руб. приведены в табл. 11.
Таблица 11
Исходные данные задачи замены оборудования
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
600 |
800 |
1200 |
1500 |
1900 |
– | |
– |
8000 |
7000 |
5000 |
3000 |
1000 |
Необходимо:
1. Определить минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение рассматриваемого периода .
2. Определить оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение рассматриваемого периода в условиях текущих цен.
3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.
Решение.
1. Определим минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет. Проведем на размеченном графе (рис. 28) условную оптимизацию.
5 шаг. В состояниях (5, ) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5,) ставим величину дохода со знаком «–».
4 шаг.
Состояние (4,1).
Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в точку (5,2) (укажем это направление пунктирной линией).
Состояние (4,2).
Состояние (4,3).
Состояние (4,4).
3 шаг.
Состояние (3,1).
В данном случае, находясь в точке (3,1), оптимально идти как в точку (4,2), так и в точку (4,1) (в обоих случаях затраты будут одинаковыми, возникает альтернативность решения).
Состояние (3,2).
Состояние (3,3).
2 шаг.
Состояние (2,1).
Состояние (2,2).
1 шаг.
Состояние (1,1).
После проведения условной оптимизации в точке (0,0) получим минимальные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с последующей продажей:
усл. ден. ед.
2. Определим оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 лет в условиях текущих цен.
Строим оптимальные траектории, перемещаясь из точки (0,0) по пунктирным линиям в конечное состояние (рис. 28).
Получаем следующие наборы точек, соответствующие управлениям:
(0,0); (1,1); (2,1); (3,2); (4,1); (5,2) ;
(0,0); (1,1); (2,2); (3,1); (4,1); (5,2) ;
(0,0); (1,1); (2,2); (3,1); (4,2); (5,1) .
3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.
Согласно первой стратегии эксплуатации оборудования, обеспечивающей минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 лет, его следует заменить в начале 2-ого и 4-ого года, согласно второй стратегии – в начале 3-его и 4-ого года, согласно третьей стратегии – в начале 3-его и 5-ого года.
Рис. 28 Размеченный граф условной оптимизации