MathAn / !Лекция-II(4)-№2(2014-15)_St

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №2 Числовые ряды (продолжение)

5.Признаки сходимости ч.р.

признаки сходимости рядов с неотрицательными членами;

знакопеременные ряды;

абсолютно и условно сходящиеся ряды

Теорема 7 (признак Даламбера)

Если для ряда an ( an 0 ) существует предел

n 1

lim an 1 L , то n an

1)при L 1 ряд сходится;

2)при L 1 ряд расходится.

Доказательство

По определению предела числовой последовательности

0 N N : n N		an 1	L	L		an 1	L .
		an				an
1) Пусть L 1, выберем настолько малым, что q L 1, тогда
an 1 qan	для всех n N a2				qa1, a3 q2a1, , an qn 1a1 bn ,
где bn	a1qn 1 - сходящаяся геометрическая прогрессия
n 1	n 1

ряд an ( an 0 ) сходится (на основании ???).

n1

2)Пусть L 1, тогда выберем q: L q 1, и, рассуждая аналогично 1),

получим an qn 1a1 bn
	an ( q 1) и ряд an	( an 0 )
	n 1

расходится (на основании ???).

#

1

Математический анализ. Модуль-4

Следствие

Если расходимость ряда установлена по признаку Даламбера, то lim an 0 .

n

Пример 6

!!! Если ряды содержат в общем члене степени, то удобно использовать следующий признак.

Теорема 8 (радикальный признак Коши)

Если для ряда an ( an 0 ) существует предел

			n 1
			L , то
lim n a		n
n

1)при L 1 ряд сходится;

2)при L 1 ряд расходится.

Доказательство аналогично признаку Даламбера.

Признаки Даламбера и Коши взаимозаменяемы, но признак Даламбера более удобен в применении и используется чаще.

НО!!!

Пример 7 (контрпример)

Теорема 8 (интегральный признак)

Если функция f : 1, R не возрастает и неотрицательна, то интеграл

	f x dx и ч.р.	an	( an f (n) 0 ) либо оба сходятся, либо оба
	1	n 1
	расходятся.
	Пример 8a
				1
	Исследовать сходимость «эталонного» ряда					.
					n
			n 2 n ln

Пример 8b

2

Математический анализ. Модуль-4

						1		1 .
Исследовать сходимость «эталонного» ряда
				n 1n
6. Знакопеременные ряды.
Def 4. Ряд		1 n 1an a1 a2		1 n 1an an 0 называется
		n 1
знакочередующимся.
Признак Лейбница (достаточный признак)
	Теорема 9
	Если для ряда 1 n 1an a1 a2 1 n 1an выполняются
			n 1
	условия
	1) a1 a2 an ,
	2) lim an 0,
	n
	то ряд сходится.
	Доказательство
	Пусть для ряда 1 n 1an выполняются условия 1) и 2).
			n 1
	Рассмотрим частичную сумму S2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n .
	По условию 1) каждая скобка >0 последовательность S2n возрастающая
	и S2n 0. Перегруппируем члены в S2n :
	S2n	a1 a2 a3 a4 a5 a2n 2				a2n 1 a2n , отсюда S2n a1
	S2n	ограничена lim		S2n S a1.
			n
	Рассмотрим последовательность нечетных сумм S2n 1 . По условию 2)
	lim	S2n 1	lim S2n a2n 1 lim S2n			lim a2n 1 S .
	n		n	n			n
								0
	Т.о., последовательность Sn имеет конечный предел ряд сходится, #
Пример 9a

3

Математический анализ. Модуль-4

1 n 1

Исследовать сходимость ряда .

n 1 n

Пример 9b

			1
2
Исследовать сходимость гармонического ряда				.
n			n
n 1

Def 5. Знакопеременным числовым рядом называется ряд an , содержащий

n 1

положительные и отрицательные члены.

! Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда.

7. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Def 6. Ряд an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд								an		, и
n 1						n 1
условно сходящимся, если ряд an сходится, а			an		расходится.
n 1	n 1

Теорема 10 (признак абсолютной сходимости)

Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Без док-ва

Пример 10a

sin n

Исследовать на сходимость ряд

n 1 n2

Пример 10b

1 n 1

Исследовать на сходимость ряд

n 1 n

!!! Деление знакопеременных рядов на абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся КРИТИЧНО.

! На абсолютно сходящиеся ряды можно переносить все свойства конечных сумм.

Теорема 11 (признак абсолютной сходимости)

4

Математический анализ. Модуль-4

Сумма абсолютно сходящегося ряда не меняется при перестановке слагаемых.

Доказательство

! Для условно сходящегося ряда теорема 11 не работает. В результате перестановки слагаемых можно получить расходящийся ряд.

5