MathAn / !Лекция-II-4-№1(2014-15)_St

Математический анализ. Модуль-4

Лекция №1 Ряды

Понятие числового ряда (ч.р.)

сходящиеся и расходящиеся ряды;

свойства сходящихся рядов;

необходимое условие сходимости ряда;

признаки сходимости рядов с неотрицательными членами;

1.Сходящиеся и расходящиеся ряды

Def 1. Пусть дана числовая последовательность an : n N . Тогда выражение

a1 a2 an или короткая запись an n 1

называется числовым рядом, а элементы данной последовательности a1,a2 , ,an , –

членами ряда, an - n-й или общий член ряда.

Def 2. Сумма первых n слагаемых ряда

n

Sn a1 a2 an , или Sn ak k 1

называется частичной суммой ряда с номером n.

Def 3. Ряд an называется сходящимся, если существует предел последовательности n 1

частичных сумм S lim Sn . Число S - сумма этого ряда. n

Если последовательность Sn не имеет предела, то ряд называется расходящимся. ! Расходящийся ряд суммы не имеет.

В некоторых случаях удобно начинать нумерацию членов ряда не с единицы, а с некоторого

номера n0 1. Получаемый ряд

an

можно считать обычным рядом ak n

0

1 .

n n0

k 1

Пример 1

Итог: Ряд с общим членом a

n

a qn 1

сходится при

q

1 и расходится при

q

1.

1

Понятие ряда и суммы ряда значительно расширяет аналитические возможности исследователя. Многое из того, что невозможно представить как результат применения конечного числа арифметических операций и операции композиции функций, удается представить в виде ряда, тем самым применяя бесконечное число арифметических операций.

1

Математический анализ. Модуль-4

2. Свойства сходящихся рядов

1) Отбрасывание конечного числа первых членов не влияет на сходимость ч.р.

Теорема 1
Если сходится ряд				an , то сходится и ряд			an , и обратно, если сходится ряд
				n 1			n k 1
an , то сходится и ряд an .
n k 1					n 1
Доказательство
Рассмотрим ч.р.			an и		an .
		n 1			n k
Пусть ряд		an	сходится lim			Sn S .
		n 1			n
				n	k			n
Обозначим Sn ai , Sk ai , n k								ai , тогда
			i 1		i 1		i k 1
lim	Sn lim		Sk n k Sk			lim	n k ( Sk		не зависит от n)
n		n				n
lim	n k Sk			lim	Sn Sk S ч.р.			an	сходится.
n				n				n k 1
Пусть ряд		an		сходится и lim		n k , тогда
		n k 1			n
			Sk n k lim Sk lim n k Sk ч.р.
lim	Sn lim									an
n		n			n		n			n 1

сходится, ч.т.д.

2) Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические операции.

Теорема 2
Если сходятся ряды an и	bn , то для любых чисел , сходится ряд		cn , где
n 1	n 1		n 1
cn an bn и an bn an bn .
n 1	n 1	n 1

2

Математический анализ. Модуль-4

Доказательство

Частичные суммы Sna , Snb , Sn a b связаны соотношением

Sn a b			n		n		n
			ak bk ak bk Sna Snb
			k 1		k 1		k 1
lim	S	a b lim		S a lim		S b	, ч.т.д.
n		n	n	n	n	n

3. Необходимое условие сходимости ряда

	Теорема 3
	Если ряд	an сходится, то его общий член an 0 :
		n 1
			lim an 0 .
			n
	Доказательство
	Пусть S - сумма ряда		an , тогда an Sn Sn 1,
			n 1
		lim an lim Sn Sn 1		lim Sn		lim	Sn 1 S S 0 ,
		n	n	n		n
	ч.т.д.
! Условие lim		an 0 - необходимое, но не достаточное.
	n
! Нельзя сделать вывод о сходимости ряда на основании равенства							lim an 0 .
							n

Пример 2

Пример 3

4. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (знакоположительные ряды)

Предварительное положение

Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами

3

Математический анализ. Модуль-4

Теорема 4

an 0 сходится тогда и только тогда, когда

Ряд с неотрицательными членами an

n 1

ограничена последовательность его частичных сумм.

Доказательство

(Необходимость)

Пусть ряд an an 0 сходится, тогда существует предел последовательности Sn

n 1

она ограничена.

(Достаточность)

Пусть последовательность Sn ограничена. Так как an 0 при всех n N , то

последовательность Sn монотонно возрастает: Sn 1 Sn an 1 Sn . По теореме

Вейерштрасса, монотонная последовательность сходится, когда она ограничена, ч.т.д.

Признаки сравнения

«Эталонные» ряды:

qn ,

n 1

1

(обобщенный гармонический или ряд Дирихле),

n

n 1

1

n 2 n ln n

сходятся при

q

1 и 1.

Теорема 5 (первый признак сравнения)

Если 0 an bn для всех n N , начиная с некоторого номера, то из сходимости ряда

bn следует сходимость ряда

an ,

а из расходимости ряда an - расходимость

n 1

n 1

n 1

ряда bn .

n 1

Доказательство

4

Математический анализ. Модуль-4

Можно считать, что условие 0 an bn верно для всех членов ряда (т.1). Пусть ряд

bn сходится, тогда по теореме 4 (необходимость) n 1

Sna a1 an b1 bn Snb M ограничена (M – число)

n N Sna M по теореме 4 (достаточность) ряд an сходится. n 1

Пусть ряд an расходится, тогда «больший» ряд тоже расходится, так как иначе

n 1

получим предыдущий случай – сходимость ряда an , что противоречит условию

n 1

теоремы, ч.т.д.

Пример 4a

Пример 4b

Теорема 6 (второй признак сравнения в предельной форме)

Если an 0 и bn 0 для всех n N и существует предел

		an
	lim		L 0 , то ряды	an и	bn либо оба сходятся, либо оба расходятся.
	n bn			n 1	n 1

Доказательство

По определению предела последовательности

0 N N : n N		an	L	L		an	L .
		bn				bn
Если ряд bn сходится сходится ряд					L bn (свойство 2).
n 1					n 1
Так как an L bn	по 1-му признаку сравнения (т.5) сходится ряд
ряд bn расходится,	то L bn an an расходится,
n 1					n 1

ч.т.д.

Пример 5

an . Если n 1

5