- •Бытовой
- •Оглавление
- •Часть I. Основные понятия теории вероятностей
- •Часть II. Основы технической эксплуатации рэа 28
- •Часть III. Основы организации технического
- •Часть IV. Примеры и задачи 72
- •Часть V. Индивидуальные задания 105
- •Введение
- •Основные Условные обозначения
- •Основные понятия
- •Операции над событиями
- •Классическая формула вероятности
- •Статистическая и геометрическая вероятности
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Начальные и центральные моменты
- •Функции системы случайных величин
- •Глава 2. Математическая статистика Выборочные характеристики и точечные оценки
- •Интервальная оценка числовой характеристики случайной величины
- •Этапы эксплуатации
- •Задачи эксплуатации
- •Эксплуатационные свойства рэа
- •События при эксплуатации
- •Параметры, численно характеризующие эксплуатационные свойства
- •Глава 2. Теория надежности Основные показатели надежности
- •Расчет надежности при постепенных отказах
- •Законы распределения вероятности появления отказов
- •Глава 3. Оценка и контроль надежности по экспериментальным данным
- •Планирование эксперимента
- •Оценка показателей надежности
- •Статистический контроль надежности
- •Глава 4. Комплектация рэа зиПом Общие сведения
- •Введение в теорию массового обслуживания
- •Расчет объема зиПа
- •Основы организации
- •Основные задачи и правила фирменного бытового обслуживания
- •Техническое обслуживание
- •Организация контроля качества сервисного обслуживания
- •Глава 2. Эффективность
- •И экономичность сервисного
- •Обслуживания
- •Эффективность
- •Экономичность
- •Примеры и задачи Глава 1. События и вероятности их появления
- •Глава 2. Расчет основных показателей надежности
- •2.1. Надежность при постоянных отказах
- •2.2. Надежность при изменении интенсивности во времени
- •2.3. Надежность ремонтируемой аппаратуры с простейшим потоком
- •2.4. Поток с ограниченным последействием
- •Глава 3. Оценка показателей
- •3.2. Интервальные оценки по экспериментальным данным
- •Глава 4. Расчет надежности при постепенных отказах
- •Глава 5. Статистический контроль надежности
- •Глава 6. Расчет зиПа
- •Глава 7. Стоимость эксплуатации
- •Индивидуальные задания Постановка задачи
- •Варианты принципиальных схем
- •Расчетные соотношения
- •Список ЛитературЫ
- •Приложения Основные законы распределения случайной величины
- •Интенсивности отказов некоторых изделий
- •Поиск параметров контроля надежности
- •Значения коэффициента Стьюдента t(, k)
- •Значения коэффициента p(, k) для нахождения границ доверительного интервала оценки дисперсии
- •Квантили 2 распределения Пирсона
- •Предметный указатель
- •Игорь Михайлович Козлов
- •Эксплуатация и сервис бытовой
- •Радиоэлектронной аппаратуры
- •Учебное пособие
- •6 30092, Г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
2.3. Надежность ремонтируемой аппаратуры с простейшим потоком
Расчетные соотношения
(t) – параметр потока отказов (интенсивность потока отказов),
T0 – средняя наработка между отказами,
p(t) – вероятность безотказной работы после восстановления,
q(t) – вероятность отказа после восстановления,
f(t) – плотность распределения вероятности отказов после восстановления,
, (k – число отказов за промежуток времени от t0 до t),
,
, в частности, .
Когда интервал времени невелик (число k мало), Т0 может отличаться от Тср. С увеличением интервала времени и числа отказов, произошедших на нем, для стационарного потока значения параметров T0 и стремятся к средним значениям:
T0 = Tср, = , .
Задача № 2.3.1
Оценить вероятность отказа одного ремонтируемого изделия в течение некоторой наработки после восстановления, если известно, что для 200 аппаратов с такой наработкой произошло 100 отказов.
Решение
Параметр потока отказов .
Интенсивность отказа одного аппарата .
Вероятность отказа = 0,39347.
Ответ: 40 %.
Задача № 2.3.2
Найти установившееся значение параметра потока отказов, если интенсивность отказов изменяется во времени (t) = at.
Решение
Установившееся значение параметра потока отказов равно интенсивности отказов, только если интенсивность постоянна. В данном случае интенсивность не постоянна, но постоянно значение среднего времени до отказа:
.
Используя соотношения взаимосвязи для установившихся зна- чений,
.
Ответ: .
2.4. Поток с ограниченным последействием
Расчетные соотношения
В потоках с ограниченным последействием зависимость потока отказов от времени можно найти из интегрального уравнения
,
воспользовавшись преобразованием Лапласа
,
где (s) и f(s) – преобразование Лапласа функций (t) и f(t).
Примечание
Прямое и обратное преобразование Лапласа
,
, s = + i.
Т а б л и ц а 4.1
| |
Оригинал x(t) |
Образ X(s) |
a |
a/s |
at |
a/s2 |
at2 |
2a/s3 |
atb |
b!a/sb+1, b > 0 |
ae–t |
a/(s+) |
| |
| |
|
Свойства преобразования:
1) линейность X(s) = aX1(s) + bX2(s)
x(t) = ax1(t) + bx2(t);
2) дифференцирование оригинала
L{дx/дt} = sX(s) – x(0),
L{д2x/дt2} = s2X(s) – sx(0) – x´(0);
3) интегрирование оригинала
.
Задача № 2.4.1
При изготовлении и ремонте аппарата предприятием используются конденсаторы двух поставщиков: 40 % с интенсивностью отказов 1=610–6 1/ч и 60 % с интенсивностью 2=10–6 1/ч. Определить интенсивность параметра потока отказов.
Решение
Плотности распределения вероятностей отказов конденсаторов:
и .
Поскольку полная вероятность есть сумма произведений условных вероятностей появления события (отказ конденсатора) на вероятность гипотезы (использовался конденсатор первого или второго поставщика), результирующая плотность распределения вероятности отказа вычисляется как суперпозиция исходных распределений:
,
где с1 + с2 = 1 – весовые коэффициенты, в нашем случае c1=0,4; c2=0,6.
Поскольку закон распределения не является экспоненциальным, параметр потока отказов не будет постоянным во времени, и поток будет иметь последействие. Чтобы вычислить параметр потока отказов, найдем преобразование Лапласа от плотности распределения:
.
Преобразование Лапласа от параметра потока отказов:
,
.
Обозначим 0 = c11+c22, 3 = 1c2+2c1.
Тогда .
С помощью обратного преобразования Лапласа находим оригинал:
.
Подставляя значения, получаем:
0 = 310–6, 3 = 410–6,
=1,510–6, =1,510–6,
(t) = 1,510–6 + 1,510–6 exp(–410–6t).
Зависимость параметра потока отказов от времени представлена на графике (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Задача № 2.4.2
У деталей, используемых для изготовления и ремонта аппаратов, интенсивность отказов в выключенном состоянии 1=10010–6 1/ч, во включенном состоянии 2=10–6 1/ч. Определить интенсивность параметра потока отказов.
Решение
Поскольку вероятность отказа в выключенном состоянии существует, суммарная наработка до отказа будет складываться из среднего времени пребывания в выключенном состоянии и среднего времени работы:
T = T1 + T2.
Таким образом, суммарная наработка есть случайная величина, являющаяся суммой двух независимых случайных величин с плотнос-тями распределения вероятностей:
и .
Согласно теории вероятностей плотность распределения суммы двух независимых случайных величин есть композиция (свертка) их плотностей распределения:
.
Преобразование Лапласа для этого выражения:
f(s) = f1(s) + f2(s),
где ,.
Откуда .
Находим преобразование Лапласа параметра потока отказов
.
С помощью обратного преобразования Лапласа находим оригинал:
.
Подставляя значения, получаем
(t) = 0,9910–6 (1 – e–0,000101 t ).
Зависимость параметра потока отказов от времени представлена на графике (рис. 4.2)
Рис. 4.2