- •Бытовой
- •Оглавление
- •Часть I. Основные понятия теории вероятностей
- •Часть II. Основы технической эксплуатации рэа 28
- •Часть III. Основы организации технического
- •Часть IV. Примеры и задачи 72
- •Часть V. Индивидуальные задания 105
- •Введение
- •Основные Условные обозначения
- •Основные понятия
- •Операции над событиями
- •Классическая формула вероятности
- •Статистическая и геометрическая вероятности
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики случайной величины
- •Начальные и центральные моменты
- •Функции системы случайных величин
- •Глава 2. Математическая статистика Выборочные характеристики и точечные оценки
- •Интервальная оценка числовой характеристики случайной величины
- •Этапы эксплуатации
- •Задачи эксплуатации
- •Эксплуатационные свойства рэа
- •События при эксплуатации
- •Параметры, численно характеризующие эксплуатационные свойства
- •Глава 2. Теория надежности Основные показатели надежности
- •Расчет надежности при постепенных отказах
- •Законы распределения вероятности появления отказов
- •Глава 3. Оценка и контроль надежности по экспериментальным данным
- •Планирование эксперимента
- •Оценка показателей надежности
- •Статистический контроль надежности
- •Глава 4. Комплектация рэа зиПом Общие сведения
- •Введение в теорию массового обслуживания
- •Расчет объема зиПа
- •Основы организации
- •Основные задачи и правила фирменного бытового обслуживания
- •Техническое обслуживание
- •Организация контроля качества сервисного обслуживания
- •Глава 2. Эффективность
- •И экономичность сервисного
- •Обслуживания
- •Эффективность
- •Экономичность
- •Примеры и задачи Глава 1. События и вероятности их появления
- •Глава 2. Расчет основных показателей надежности
- •2.1. Надежность при постоянных отказах
- •2.2. Надежность при изменении интенсивности во времени
- •2.3. Надежность ремонтируемой аппаратуры с простейшим потоком
- •2.4. Поток с ограниченным последействием
- •Глава 3. Оценка показателей
- •3.2. Интервальные оценки по экспериментальным данным
- •Глава 4. Расчет надежности при постепенных отказах
- •Глава 5. Статистический контроль надежности
- •Глава 6. Расчет зиПа
- •Глава 7. Стоимость эксплуатации
- •Индивидуальные задания Постановка задачи
- •Варианты принципиальных схем
- •Расчетные соотношения
- •Список ЛитературЫ
- •Приложения Основные законы распределения случайной величины
- •Интенсивности отказов некоторых изделий
- •Поиск параметров контроля надежности
- •Значения коэффициента Стьюдента t(, k)
- •Значения коэффициента p(, k) для нахождения границ доверительного интервала оценки дисперсии
- •Квантили 2 распределения Пирсона
- •Предметный указатель
- •Игорь Михайлович Козлов
- •Эксплуатация и сервис бытовой
- •Радиоэлектронной аппаратуры
- •Учебное пособие
- •6 30092, Г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Вероятность события A, которое может наступить только при условии появления одного из событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из H событий на соответствующую условную вероятность события A:
.
Приведенная формула называется формулой полной вероятности, а события H – гипотезами.
П р и м е р. Вероятность замыкания витков обмотки трансформатора P(H1) = 0.01, вероятность пробоя диодного моста P(H2) = 0.02. Вероятность события A «выход из строя микросхемы», если испортится трансформатор P(A|H1) = 0.9, а если испортится диодный мост P(A|H2) = 0.95. Вероятность выхода из строя микросхемы P(A) = P(H1) P(A|H1) + P(H2) P(A|H2) = = 0.010.9 + 0.020.95 = 0.028.
Формулой Байеса, или теоремой гипотез, называется формула
.
П р и м е р. При тех же данных: P(H1) = 0.01 – вероятность замыкания витков обмотки трансформатора, P(H2) = 0.02 – вероятность пробоя диодного моста, P(A|H1) = 0.9 – вероятность события A «выход из строя микросхемы», если испортится трансформатор, и P(A|H2) = 0.95 – если испортится диодный мост. Вероятность того, что если микросхема сгорела, то виноват в этом трансформатор P(H1| A) = P(H1) P(A|H1)/P(A) = 0.010.9/0.028 0.32. Вероятность того, что виноват диодный мост P(H2|A) = P(H2) P(A|H2)/P(A) = = 0.020.95 / 0.028 0.68.
Случайные величины
Случайной называется величина (X), которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение (x), неизвестное заранее, но обязательно одно. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала. Например, время отказа есть непрерывная случайная величина, а количество отказов за фиксированное время – дискретная случайная величина.
Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями того, что случайная величина примет это значение.
Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция g(x), задающая вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x: g(x) = = P(X < x). Причем, 0 g(x) 1, g(x) – неубывающая функция, для любых а < b: P(a X < b) = g(b) – g(a).
Пр и м е р.Вероятность отказа аппарата или элемента в течение первых секунд после начала эксплуатации равна 0. С продолжением эксплуатации вероятность отказа повышается. Если аппарат эксплуатировать бесконечно, ве-роятность отказа повысится до 1. Функция q(t) (рис. 1.3) показывает вероятность возникновения отказа ДО указанного момента времени t.
Случайная величина X здесь – время отказа, возможное значение x – это t.
Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей называется первая производная интегральной функции распределения f(x) = g(x). Иногда f(x) называют плотностью или функцией плотности распределения вероятности. График дифференциальной функции распределения называют кривой распределения.
Для дифференциальной функции распределения справедливо:
f(x) > 0, ,.
Для интегральной и дифференциальной функций распределения справедливо:
.
Оценка плотности распределения по конечной выборке (конечному числу значений случайной величины) есть гистограмма, отражающая количество значений случайной величины, попавшее в элементарный интервал гистограммы x, отнесенного к общему объему выборки N и величине x (рис. 1.4). Оценка будет тем ближе к истинному значению, чем меньше интервал x 0 и больше объем выборки N .
Конкретные законы распределения (нормальный, экспоненциальный, Вейбулла, Пирсона) будут рассмотрены при описании параметров надежности.