g порождающий

элемент

T текст

произвольн х

x a

g xy

Диффи-Хелмана
g	x	g0 2	g	y
		mod17		произволбный y
				y b
				!обратимость
				не требуется
Общее знание				g xy

передать с

Шифр : с g xy mod n	Расшифровка : с Шифр g xy mod n
n 17 (число ФЕРМА)	p (открытое) Простое	Fpr

T текст ( p) p 1 31 1 30

модуль

p 31

произв х

p (открытое) Простое

p 31

Масси-Омуры

б1

А0

нод(х; p 1) 1

при mod 31 не брать

в2

T 27 ь текст

C1 T

13

8 4

1

23

25 и 5 (использовать следующую букву

г3

T1 27 4 mod 31

x

T T T

д4

C T

x

ФАМИЛИИ )

е5

T 2 272 ( 4)2 16

x

13

C1 23

ё6

T 4 162

256 200 56

56 7

2 70 8

1

C

1 29 2

ж7

T 8 82

64 2

C

2913

y 17

1C12 ( 2)2 4

произв yз8

C1 T13

1

y

C14

C12

2

16

и9

T 8T 4T1 2 8 ( 4) 16

( 4)

64 2 29

нод( y; p 1) 1

й10

100 93 7 31 3 7 7

C18 162 8

к11

C2

29

C 16

C 82

82

64 2

л12

y

xy

1

1

м13

17

16

1

н14

C2 C1

T

C2 C1

C1 C1

2 29 4 27

о15

2 T 29

п16

с18

x 1

р17

xy

y

т19

(T )

T

C3 27

y

1

у20

y

x 1

x 1

T

y

T

T1'

(T

)

1

ф21

C3 C2

y

y

T

ц23

х22

x

1

7 1

C 2

C3 27

ч24

2

2

2

y

1

23

(

4)

2

16

C2

C 4

16 256 8

щ26

29

1

ш25

C2

( 2)

4

x 1

3 8

8

2

64 2

ъ27

4

42

16

C3

ы28

C2

16

8

2

2

2

4

C2

C2

C2

C2 ( 2) 4 16 ( 2) 64 ( 2) 2 4 27 модуль

C3

C3

C3

э30

T

' C3

C3

C3

4

C3

2

7

4

2

1

23

16

1

ь29

C3 C27

( 2) 4 16 27

p

31

4 27 16 8 4( 4) 16 8 16 16 8

ю31

256 8 8 8 64 2 29

я32

T текст ( p) p 1 31 1 30

модуль

p 31

произв х

p (открытое) Простое

p 31

Масси-Омуры

б1

А0

нод(х; p 1) 1

при mod 31 не брать

в2

T 27 ь текст

C1 T

13

8 4

1

23

25 и 5 (использовать следующую букву

г3

T1 29 2 mod 31

x

T T T

д4

C T

x

ФАМИЛИИ )

е5

T 2 292 ( 2)2 4

x

13

C1 23

ё6

T 4 42 16

1

1

ж7

8

2

13

y 23

C1

23 8

произв yз8

T

16

256 100 2 56 C70 8 29

C12

( 8)2

64 2

C1 T13

T 8T 4T1 ( 2) 16

1

y

C14

C12

2

и9

8 32 8 ( 1) 8 23

4

нод( y; p 1) 1

й10

100 93 7 31 3 7 7

C18 42 16

к11

C2

29

C

16

C

82

162

256 8

л12

y

1

1

м13

xy

C2 C123

C116C14C12C11 8 23 184 29

н14

C2 C1

T

о15

2 T 29

п16

с18

x 1

р17

xy

y

т19

(T ) T

C3 27

y

1

у20

y

x 1

x 1

T

y

T

T1' (T

)

1

ф21

C3 C2

y

y

T

ц23

х22

x

1

7 1

C 2

C3

27

ч24

2

y

1

17

(

4)2

16

2

C 4 16 256 8

щ26

C2 29

2

1

ш25

C2

( 2)

4

x 1

3 8

8

2

64 2

ъ27

4

42 16

C3

ы28

C2

16

82

2

2

4

C2

C2

C2

C2 ( 2) 4 16 ( 2) 64 ( 2) 2 4 27 модуль

C3

C3

C3

э30

T ' C3

23

C3

C3

4

C3

7

4

2

1

16

2

1

ь29

C3 C2

7

( 2) 4

16 27

p 31

4 27 16 8 4( 4) 16 8 16 16 8

ю31

256 8 8 8 64 2 29

я32

T текст ( p) p 1 31 1 30

2 T 29

модуль

p 31

произв х

p (открытое) Простое

p 31

Масси-Омуры

б1

А0

нод(х; p 1) 1

при mod 31 не брать

в2

T 29 ь текст

C1 T

13

8 4 1

23

25 и 5 (использовать следующую букву

г3

T1 29 2 mod 31

x

T T T

д4

C

T

x

ФАМИЛИИ )

е5

T 2 292 ( 2)2 4

x 13

C1 23

ё6

T 4 42 16

1

1

23 8

ж7

T

8

16

2

256 100 2 56 70 8

C1

13

y 23

C1

произв yз8

C12

( 8)2

64 2

C1 T

13

8 4 1

(

2) 16 8 32

29

y

4

2

2

4

и9

T T T

8 ( 1) 8

23

C1

C1

нод( y; p 1) 1

й10

100 93 7 31 3 7 7

C18 42 16

к11

C2

29

C

16

C 82

162 256 8

л12

y

xy

1

1

м13

н14

C2 C1

T

23

16C

4C 2C 1

о15

C

2

C

C

8 4 2 23 32 46 1 15

п16

1

1

1

1

1

р17

x 1

xy

с18

y

т19

(T ) T

C3 27

y y

1

у20

x 1

C3 C2

x 1

T

y

T

T1' (T

y

)

y

1

ф21

T

ц23

х22

x

1

7

C3

23

2

2

ч24

y

1

17

C

2

(23)

(

8)

64 2

C2

1

15

ш25

x 1

C134

4

щ26

C2

2 225 14 25 39 8

C38 42 16

ъ27

C2

4 64 2

C2

2 8 15 16 15 240 54 23

модуль

C316

C382 162 256 8

ы28

C2

7

C2

C2

T ' C3

C3

C3

э30

4

2

1

17

16

1

ь29

C3

C2

7

2 8 15 23

p 31

8 23

4( 4) 16 8 16 16 8

ю31

256 8 8 8 64 2 29

я32

T k (n) 1 T

T ё 6

Оформление :

степень

значение

Пример RSA Т=ё, Код «ё»=6

mod n

Шифровка откр.ключом е 7

1	2	4	8	….	….	…..
6	3	9
	36	9
	6*6

T 7 61 62 64 6 3 32 6 3 9	18 9 162 63	30
d 3
Дешифровка : 303 900*30 9 30 270 70 2		72 2 33 6

А0

б1

в2

г3

д4

е5

ё6

ж7

з8

и9

й10

к11

л12

м13

н14

о15

п16

р17

с18

т19

у20

ф21

х22

ц23

ч24

ш25

щ26

ъ27

ы28

ь29

э30

ю31

я32

Группа *mod6 ak mod n

1

5

5 ka образующий элемент

5 5

na 11 3 33

(33 na ) (3 1)(11 1) 2 10 20

пары взаимно обратных

e d 1mod ( n )
1 1 1mod ( n )
7 3 1mod 20		3 27 1mod 20
			23 27 1mod 20
17 13 1mod 20		23 7 1mod 20
		221 mod 20
9	9 1mod 20
11	11 1mod 20
19 19 1mod 20		( 1)2	1mod ( n )

А0

б1

в2

г3

д4

е5

ё6

ж7

з8

и9

й10

к11

л12

м13

н14

о15

п16

р17

с18

т19

у20

ф21

х22

ц23

ч24

ш25

щ26

ъ27

ы28

ь29

э30

ю31

я32

17 13 ( 3) ( 7) mod 20 1mod 20 21 mod 20

Конечные поля

	1					2
1			1			2
2			2			1
a ..mod b
32 1 mod 4						3
	1
1					1	3
3					3	1

3 (4) 1mod 4

22 1mod 3		..? mod 4
			Делители нуля
	1		2		3
1		1	2		3
			Не группа
2		2	По умножению
			0		2
3		3	2		1	(2) 1
		Функция Эйлера (3) 2
( p ) p				1
( p1 p2 ...) ( p1				1) ( p2		1)..( pn 1)
(6) 2 1			(15) 2 4
(625 54 ) (5 1) 53				(10) (5 1) (2 1) 4

(5) 4

RSA

x k 1 mod n x

	Проверим для
x4k 1 mod 5 x	x4 1 mod 5	x
	14 1 mod 5	1

24 1 mod5 32 6 *5 2 2

34 1 mod5 81* 3 1* 3 3 44 1 mod 5 322 22 4

1024 mod 5 4

( p) p

x k 1

x4k 1

	(5) 4
1 Введение в RSA
mod n x
	Проверим для
mod 5 x	x4 1 mod 5 x

14 1 mod 5 1

24 1 mod5 32 6 *5 2 2

34 1 mod5 81* 3 1* 3 3 44 1 mod 5 322 22 4

1024 mod 5 4

x	1	mod n x	то

Доказательство

x k 1 mod n x

x2 1 mod n x x 1 x x1 x 1 x

Далее по индукции:

xk 1 mod n x (k 1) x 1 x (k 1) x1		... x3 1 x2 1 x 1 x
пример:	x3 1 mod n x2 1	x 1 x

x3 2 1 mod 6 x2 2 1 x2 1 x

(7) 6 RSA

x k 1 mod n x

	Проверим для
x6k 1 mod 7 x	x6 1 mod 7 x
	16 1 mod 7 1
	26 1 mod 7 128 7 *18 2 2
	36 1 mod 7 81* 27 4 * ( 1) 3
	46 1 mod 7 642 * 4 4

56 1 mod 7 1252 * 5 (7 *17 6)2 * 5 36 * 5 5 66 1 mod 7 ( 1)6 1 1 6

( pq) ( p 1) (q 1)

(6) (2 1) (3 1) 2

x k 1 mod n x x2k 1 mod 6 x

x2 1 x3 mod 6 x

12 1 mod 6 1

22 1 mod 6 8 6 *1 2 2

32 1 mod 6 27 6 * 4 3 3 42 1 mod 6 64 10 * 6 4 4 52 1 mod 6 5* 25 5*1 5

7 * 3 1 mod10

x10k 1 mod 22 x

( pq) ( p 1) (q 1)

(22) (11 1) (2 1) 10

x k 1 mod 22

x

x

21

mod 22 x

1

x

ключ де шифрования :

ключ шифрования :

e 7

( x7 )3 mod 22 x21 x

d 3

шифрование :

расшифровка :

текст (C)3 mod 22

x

С x7 mod 22 шифр

17 mod 22 1

13 mod 22 1

27 mod 22 128 18

183 mod 22 27 * 216 5* ( 4) 2

37 mod 22 27 *81 5 ( 7) 35 44

35 9

9

3

mod 22 27 * 27 5* 5 25 3

57 mod 22 25* 25* 25*5 33 5 27 5 5 5 3

33 mod 22 27 5

(5 22)

67 mod 22 216* 216* 6 ( 4)2 6 60 36 96 88 8

83 mod 22 64 *8 2 *8 22 16 6

97 mod 22 (35 )2 34 2432 *81 12 81 7 15

153 mod 22 125* 27 15*5 75 75 66 9

07 mod22 1000*10 (990 10)2 *10 1000 10

103 mod 22 1000 10

197 mod 22 ( 3)7 9(повыше рассчитанному) 22 9 13

133 mod 22 169 *13 13(169 154) 13*15 195 110 88 3 19

T (n) 1mod n

Для обратимых

Пример RSA

T k (n)

1mod n Для обратимых

T k (n) 1

T mod n

Для всех

100 1mod 33

RSA

n 100 n mod 33

T e mod n

(T e )d

mod n

T ed 1mod (n) mod n

1

T

T

mod n

T 3

mod 33

(T 3 )7

mod 33 T 21

T1

Пусть

Шифровка откр.ключом е 7

T 29 ь

T 7

291 292 294 29 42 294 29 16 162

29 16 256

29 ( 4) mod

33 29 16 58 ( 4) 16 25 16( 100) ( 1)16 17

d 3

289 17 (89 2) 17 25 17

17

3

17

2

17

( 8) 17

Дешифровка : 25 (16

1)

400 25 29 T

T ё 6

Шифровка

откр.ключом е 7

63 30

T 7 61 62 64 6 3 32

6 3 9 18 9 162

d 3

Дешифровка : 303 900*30 9 30 270 70 2

72 2 33 6

А0

б1

в2

г3

д4

е5

ё6

ж7

з8

и9

й10

к11

л12

м13

н14

о15

п16

р17

с18

т19у20ф21 х22 ц23 ч24 ш25 щ26 ъ27 ы28 ь29 э30 ю31 я32

T 7 T1T 2T 4

T ё 6		Т=ё, Код «ё»=6
	Шифровка откр.ключом е 7
степень	1	2	4	8 …. …. …..
значение	6	3	9
квадрат		36	9

C T 7 6 3 9 18 9 162 63 30				n 100 n mod 33
степень	1	2	4 8	… …. …..
значение	30	9
квадрат		900

d 3

Дешифровка : 303 301 302	900*30 9 30 270 70 2	6	©

Т=ъ, Код «ъ»=27=-6

T ъ 6 27 Шифровка откр.ключом е 17

		степень		1	2		4	8		16	….	…..
		значение		27	3		9	15		27
		квадрат			36		9	81		225
C T17 T1T16					-6х-6			9х9		15х15
T	17	27 27 ( 6) ( 6)				36		3
		1	16
		C13 C1C8C4
		степень		1		2	4		8	…	….	….	6
		значение		3		9	15		27
		квадрат				9	81		225
									15х15

n 100 n mod 33

d 13

Дешифровка : 313 31 34 38 3*15* 27 45 27 12 27 12 ( 6)

А0

б1

в2

г3

д4

е5

ё6

ж7

з8

и9

й10

к11

л12

м13

н14

о15

п16

р17

с18

т19

у20

ф21

х22

ц23

ч24

ш25

щ26

ъ27

ы28

ь29

э30

ю31

я32

72 6 27

n 29, g

Алг Диффи_Хелмана

Шифровка откр.ключом е 17

степень	1	2	4	8	16	….	…..
Значение	27	3	9	15	27		T 7 T1T 2T 4
(Модуль)
квадрат		36	9	81	225
		-6х-6	3х3	9х9	15х15
T 7 6 3 9 18 9 162 63 30							n 100 n mod 33
степень	1	2	4	8	… ….	…..
Значение	30	9
(Модуль)
квадрат		900

d 3

Дешифровка : 303 301 302 900*30 9 30 270 70 2 6

А0

б1

в2

г3

д4

е5

ё6

ж7

з8

и9

й10

к11

л12

м13

н14

о15

п16

р17

с18

т19

у20

ф21

х22

ц23

ч24

ш25

щ26

ъ27

ы28

ь29

э30

ю31

я32