Вышка

виключення. Розв'язання системи диференціальних рівнянь за допомогою характеристичного рівняння.

Ряди

Числові ряди. Нескінченна геометрична прогресія. Основні поняття та визначення. Знакостали ряди. Необхідна умова збіжності. Достатні ознаки збіжності: порівняння рядів; ознака Даламбера; радикальна та інтегральна ознаки Коші. Знакозмінні ряди. Визначення. Ознака збіжності (теорема Лейбніца). Абсолютна та умовна збіжності. Узагальнена ознака Даламбера.

Функціональні ряди. Область збіжності функціонального ряду. Степене-

вий ряд. Теорема Абеля про область збіжності степеневого ряду. Радіус збіжності. Рівномірна збіжність. Властивості рівномірно збіжних рядів.

Розвинення функцій у степеневі ряди. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Розвинення деяких елементарних функцій у ряд Маклорена.

Застосування рядів до наближених обчислень: обчислення значень функцій, обчислення визначених інтегралів, інтегрування деяких диференціальних рівнянь.

ІІІ. Задачі для контрольних робіт

У задачах 1 – 10 розв’язати систему лінійних рівнянь а) за методом Крамера; б)

за методом Гаусса; в) матричнім методом.

	3x 2 y z 5
1.		2x y z 6
		x 5 y 3

	x y 2z 6
2.		2x 3y 7z 16
		3x 2 y z 16

5x 8 y z 2 3x 2 y 6z 7 2x y z 5

x 3y 2z 3 2x 5 y 4z 2 3x 10 y z 4

		y 3z 1
4.		2x 3y 5z 3
		3x 5 y 7z 6

x 2 y 2z 13

6.3x 2 y 10z 332x y 5z 7

10

7.
9.

2x y 5z 4 5x 2 y 13z 23 3x y 5z 0

3x 4 y 2z 9 2x y 3z 2 x 5 y z 7

	x 2 y z 4
8.		3x 5 y 3z 1
		2x 7 y z 8

x y 2z 1

10.2x y 2z 44x y 4z 2

У задачах 11-20 дослідити систему лінійних рівнянь на сумісність та у разі сумісності знайти її загальний розв’язок.

		x	2x						3x			4x				4		1
		1			2					3
		2x			2x					4x					2x				2
																	4
11.		1						2			3
		x	4x						x		x				1
		1			2					3			4
				8x					7x				9x					1
	3x						2
		1								3						4
		2x			x	2			x		x			4	2
		1								3
		x	2x						x		x				2
						2								4
13.		1								3
		3x								x 3x					1
														4
		1								3
	2x			2x				2		2x			2x					1
		1									3					4

		3x				x					3x				x			1
				1					2					3			4
		x	x						5x					3x				2
12.		1				2							3			4
		3x				2x						3x				x			0
											2
				1											3			4
	2x				2x								2x			2x			1
		1								2				3				4
		x		x				2		x			x				2
		1										3				4
		x	2x								x			x			2
									2
14.		1											3			4
		2x										4x			2x				1
																		4
				1									3
	x		x				2		3x					x			1
		1											3			4

15.

	5 x			12x				5x 5x				4	1
			1				2		3
		x	2x				3x		x		3
					2					4
		1						3
		2x		5x				2	2x			1
							2				4
			1					3
	x			2x		x x				1
		1		2				3	4

16.

	3 x		2x			2x			x			4	5
		1		2			3
		x 5x			2x			3x					0
				2
		1				3						4
		2x	2x			2		2x					1
							3
		1			2							4
	x		3x		2				x	4	1
		1

	3x1 2x2 x3 x4 4
		2x1 2x2 2x3 x4 3
17.
		2x x				3x 2x						1
				2						4
		1					3
	5x 3x				2	2x 3x					4	5
		1						3
	x1 x2 2x3 2x4 2
		2x1 x2				x3 3x4 2
19.
		2x				3x		2x			0
									4
		1				3
	5x 2x 6x x 0
		1				2		3			4

18.

20.

		7x	3x	6x			2x 9
		1	2		3				4
		2x		x	3x			3
		1		3			4
		2x		3x	2x				1
								4
		1		3
						3x			5
	3x 3x 2x
		1	2		3			4
	x1 x2 2x3 2x4 4
		4x1	2x2 2x3 6x4 4
		2x 2x x 2x 1
		1	2		3			4
	10x 4x 8x 2x 14
		1	2			3			4

11

У задачах 21-30 побудувати фундаментальний розв’язок однорідної

системи лінійних рівнянь.

		x x			2x							2x					4		0
		1	2							3
		2x	x				x					x					0
21.		1		2						3						4
		3x	2x							3x						3x						0
						2														4
		1										3
			x					3x							3x							0
					2							3						4
		2x	3x			2				2x						x		4			0
		1											3
		2x	4x							x				3x							0
																		4
23.		1				2					3
		4x	x				3x							4x							0
				2														4
		1									3
	2x 10x									3x						x						0
		1				2								3				4
		3x	x			2x							4x								0
		1	2								3						4
		2x	3x							x			3x								0
25.		1			2						3						4
							2x							x					0
	3x 6x
		1		2							3						4
	x 3x				x						2x						0
		1	2							3						4
		2x	3x							4x						2x						0
		1			2							3								4
		5x	1x					6x							3x							0
																			4
27.		1			2							3
							2x							x					0
	3x 2x				2
		1									3						4
	x		5x						2x							x					0
		1			2							3					4
	2x1 3x2 4x3 3x4 0
		2x1 5x2 4x3 3x4 0
29.
		x 3x 3x 2x 0
		1	2								3						4
	2x 4x 2x 4x 0
		1			2							3							4

		2x			x			2			2x						2x				4		0
			1												3
		2x			x						x				3x						0
								2
22.			1										3						4
		3x			2x								3x					3x						0
																						4
			1							2						3
			x			2x						2						2x					0
				1																4
		3x			x						2x						x				0
			1				2							3					4
		2x			4x								x				3x						0
24.			1							2					3					4
		4x			x						3x						4x						0
			1				2							3						4
	x		3x						x					2x						0
		1				2							3					4
		2x			14x								4x					2x						0
			1										2				3							4
		x		5x							x				3x						0
26.		1					2						3						4
				6x								2x					x					0
	3x								2											4
		1													3
	2x					3x							x					2x				4		0
				1									2		3
		2x			3x					2			4x					2x						0
			1													3						4
		5x			x						6x						3x						0
28.			1				2							3						4
		2x		3x								7x					2x						0
									2
		1													3						4
	x				5x								2x					x					0
			1						2						3					4
		3x			3x					2			x				2x						0
			1											3						4
		2x			x						4x						3x						0
								2													4
30.			1												3
		x	3x						x								2x			0
							2												4
		1											3
	2x			x			2			2x						3x				4		0
		1											3

У задачах 31-40 задані координати вершин піраміди АВСD. Знайти:

а) довжину ребра АВ;

б) кут між ребрами АВ і АС;

в) рівняння грані АВD;

г) кут між ребром АС та гранню АВD;

д) рівняння висоти, що опущена з вершини С на грань АВD;

е) об’єм піраміди АВСD.

31. А(3;-1;0); В(0;-7;3); С(-2;1;-1); D(3;2;6)

12

32.А(1;2;0); В(2;1;1); С(3;0;1); D(2;3;-1)

33.А(1;1;1); В(2;3;-1); С(0;-1;2); D(3;0; 1)

34.А(1;-1;0); В(2;1;-1); С(1;-1;-2); D(-1;2;3)

35.А(1;-1;0); В(2;1;-1); С(1;-1;-2); D(-1;2;3)

36.А(0;6;4); В(3;5;3); С(-2;11;-5); D(1;-1;1)

37.А(2;3;-4); В(-2;3;3); С(1;0;-2); D(-1;1;2)

38.А(-2;3;4); В(-1;2;0); С(2;2;-1); D(0;2;1)

39.А(-2;5;3); В(0;0;3); С(2;5;-3); D(1;-1;2)

40.А(0;1;-1); В(-2;3;1); С(4;0;-1); D(2;-1;-2)

У задачах 41-50 задані координати вершин трикутника АВС. Знайти:

а) довжину сторони АВ;

б) рівняння сторони АС;

в) рівняння висоти, що опущена з вершини В на сторону АС;

г) рівняння медіани, що проведена з вершини С на сторону АВ;

д) рівняння бісектриси внутрішнього кута А трикутника;

е) площу трикутника АВС.
41.	А(-5;2); В(3;5); С(2;-4)				42. А(1;-2); В(4;3); С(7;-6)
43.	А(-9;8); В(2;10); С(-10;1)				44. А(-6;-5); В(5;-9); С(-5;6)
45.	А(-2;-2); В(2;5); С(-8;4)				46. А(-7;-1); В(5;8); С(3;-6)
47.	А(7;4); В(-6;5); С(-5;-6)				48. А(-2;8); В(3;10); С(-3;-4)
49.	А(-8;5); В(5;8); С(-1;-6)				50. А(9;2); В(-5;10); С(-4;-6)
У задачах 51-60 виконати вказані завдання.
51.	Написати рівняння діаметра	кола x2 y2 4x 6 y 17 0 , котрий
перпендикулярний щодо прямій 5x 2 y 13 0 .
52.	Знайти кут між радіусами кола		x	2	y	2	4x 6 y 5 0	, які проведені
через точки перетину цього кола з віссю ОХ.
53.	Скласти рівняння дотичних	до			кола		x2 y2 10 x 2 y 6 0 , які
паралельні прямій 2x y 7 0 .
	13

	54.	З точки Р(-9;3) проведені дотичні до кола x	2	y		2	6x 4 y 78 0 .
	Обчислити відстань від центру кола до хорди, що сполучає точки дотику.
				x	2			y	2
	55.	З точки М(10;-8) проведено дотичні до еліпса								1. Скласти
				25				16
	рівняння що сполучає точки дотику.
	56.	Скласти рівняння дотичних до еліпса		x		2	4 y			2	20 , яки
	перпендикулярні до прямої 2x 2 y 13 0 .
	57.	Визначити траєкторію точки М, що рухаючись залишається вдвічі
	ближчою до точки F(-1;0), ніж до прямої x 4 0 .
	58.	Обчислити площу трикутника, який утворене асимптотами гіперболи

	x	2		y	2
						1 і прямою 9x 2 y 24 0 .
	4			9
				59.			Скласти	рівняння	спільної
	x2 y2 12 x 64 0 .
				60.			Знайти	довжину	спільної
	4x 12 y2 .

хорди параболи	y	2

хорди двох парабол

18 x	і кола

4 y 12 x	2	і

У задачах 61 – 70 обчислити границі, не використовуючи правило Лопіталя.

61. а)

lim

x6 6x3 9

;

б)

lim

3x 5x 7 2x

; в)

4

x 3

3

x

3x

x 4x 5 6x 15

x

4

7

tg x

4

2x

3

3

г)

lim

; д)

lim

.

6

3

x 1 tg x

x

2x

9

		3	x 1	3
	lim
		3x 14 8
	x 26

;

14

в)

в)

3x

2

10x 25

5x

3x

5

x

62.

а)

lim

;

б)

lim

;

3

11x

2

105x

3

6

2

4

10

x 5

2x

x

x

x

1

x

7x 4

31 2x

2 cos x

3

cosec

2

x 5

lim

;

г)

lim

;

д)

lim

1 sin

2

x

.

8

55 3x

x 26

x

tg(

x)

x 0

6

6

2x

3

5x

2

4

9x

3

x

3

x

4

4

63.

а)

lim

;

б)

lim

;

4

16

4

6

x 2

x

x

2

5x

1 x

2x 13 3 x 8

cos(

x)

5x3

2

x2

lim

;

г)

lim

6

;

д)

lim

.

2 3 x 1

x 7

x

tgx

3

5x

3

4

3

x

3x

4

6x

3

7x 14

9x

3

x 1

1

64.

а)

lim

;

б)

lim

tg (

)

;

2

8x 4

3

x

2

2x

5

x 2

5x

x

4x

x

в) lim	3			2x 19			; г)
x 5		x	2 11 6

	cos		x
		2
lim
	x 1
x 1

; д)

lim 3
x 8

x	tg		x
		16
4

.

65. а)

		2x 1		343
	lim	3
			x 1	81
	x 3	9

2x4

x3

x

5

x 1

; б)

lim

;

в) lim

;

4

2

x

4

x 1 2

7x 9

x

5x

x 3

г)

lim
		cos
x 1		2

x6

tg

2

x 12

 

; д)

	tg 2	2x
lim sin 2x
x
	4

.

66.а)

	lim
	x	1
		3

4x		2	x	1
				9
9x	2		3x 2

;

49 x 4

5x3 x2 1

б)

lim

;

x

3

6 7

1

4x

x

x

				11x3 5
в) lim		19 x			; г)
		x3		x
x 1

	lim	1 cos 2x
			2
	x 0	1 cos 4x

				5		2x3
; д)	lim	1				.
				x	4
	x

15

67.а)

		5x	4	3x		3	10 x		2	6x
	lim
				3	9x		2	35 x 21
	x 0,6 15 x

;

б)

lim x

7x			2	5x
4	x	6		x	2

235x5 1

6 x10 4

;

в)

6	x	8		x
lim
	1 x		2
x 1

; г)

lim (1 cos x)ctg	2	x ;
x 0

д)

			3
lim 1 5x			x	4
	4
x 0

.

68.а)

			x	3	64
	lim	arctg
			80 5x			2
	x 4

;

б)

			7		4x		7		10		5
	lim
		4		4					6		6
	x		2x				8			9x		7

;

в)

г)

lim

x 2

x 15

;

г)

lim

tg13 x

;

x 9 x

7

x 12

x 0 sin8 x

(x

3

8)

3x 19

69.

lim

; б)

3

6x

2

x 2 x

12x 8

lim

30 3x

;

д) lim

x(ln(

tg

x 10 tg

x

10

x

											ctg		4		x
д)	lim		1 5x					4								.
	x 0
		5		x		2			x			4				x
lim																; в)
x		2				7						9
x 5) ln x) .

3	2 x	2
lim
	2x 10
x 5

3

;

70. а)

		x		6	16x			3	64
	lim
		3	6x			2	19x 38
	x 2 3x

; б)

lim		2x	2
x

x

	7 9x 2x	2

 

;

в)

		x	3	10x	2	21x
	lim
		5x 49				35 3x
	x 7

; г)

lim	5x2		45
		cos 2x
x 3 cos6

; д)

lim (3x x

1)(ln(x

7)

ln

x)

.

В задачах 71 – 80 дослідити функції на неперервність за наявністю точок розриву встановити їх рід, обчислити стрибки функцій у точках розриву першого роду, побудувати схематичні графіки функцій.

			4
71. а)	y 2	5 x			;
	lg x 1,					x 1
б) f (x) 2x 3,						1 x 4 .
			2 7,			x 4
	x
					1
72. а)	y 4e			( x 2)4		3;

						1
					2 x
76. а)							;
	y	3,14
	x 3,					x ( ; 3] (3; )
б) f (x) 5cos x ,							x ( 3;3]	.
				6
77. а)	y 1 log			3		x	;

16

			3		,					x				8
			2											15
										13				8
б)	f (x) 2x												,						x 3.
										30				15
		3					,					x 3
						x
												4
					e				x 2
73. а)		y												;
			2,8
			x		3		1,								x 1
б)										2		,			1 x 3 .
	f (x) 2 x
															x 3
		3x 5,

	2x4 1,			x 1
б)		3	2,	1 x 2 .
	f (x) x
	2x 3,			x 2

78. а) y			2 x					;
			3	2x			2
	x
	2			(5 4x					3	),	x 1
		9
					2
б) f (x)						11,					1 x 3 .
	x
		2x 4,							x 32

							1
								2
							( x 3)
74. а)		y 2 5						;
		4		3 x ,				x 5
б)								.
	f (x)		x
		e			,		x 5

75. а) y			3		;
				1
	1 5			x
			sin 2x,				x
	3
								2
б) f (x)				3,			x			.
	tgx					4			2
		4x 1,				x
							2

79. а) y arctg							2		;
				3		x
									x 2
	3x 4,
б) f (x)	2,					2 x 5 .
		2	4x,						x 52
	x
80. а) y	2x 1							;
	(x 2)				2
		x
	2		3,						x 2
б) f (x)	1	x	2	x,					2 x 4.
	4
		1		,				x 4
	x	4

В задачах 81 – 90 знайти похідну заданих функцій.

17

81.а)

	5		x		2	1
y arcctg									3
				3
						2
		x

cos 2 x

;

б)

y

	3	x 2x
	ln5x 7

;

(t

2

t )9

t

2

y e

x

e

y

sin

2

x 0

x

в) tg

;

г)

.

y

arccost ln t

ln

2

x

82.

а)

y

ctgx 3

;

б)

sin5x x

2

	1	ln x 5
y arctgx
	x

;

в)

x	5	y	5	3	x	1	2	y
				cos		y

0

; г)

	5	cos8t
x t
y (arcsint arccost)2 et

.

в)

в)

83.а)

ln	3	y	x	2	x

	84.	а)	y
4	3	x 7	x y
	cos

y

3

cos

2

7x

ctg (

x

4

x

) ;

б)

9

t

2

1

x

1

t

sin(x y)

1

0 ;

г)

.

y

5

t

t

y

ln t

(arctg 2x arcctg 2x)

5

3

x

cos5x ;

t

cos3t

ln

2

y x

3

0

; г)

x 5

.

y 5t sin 3t

y 8

б)

5arctgx cos2x x

x 2			tg5x x
y
	x

;

;

85. а)

4		3 5	(2x	2
y arcsin	ln

x)	2



;

б)

	7 5x 3x	2
y

	x	2	sin x

;

в) arctg2 y x5 y6 3x 5 y 0 ;

г)

		7	tgt
x ln
	cos 2x t5
y

.

86. а)

y

10	arctgx 7	x
(arccos 9x arcsin 9x)

; б) y ln 2 x x5
	x cos x ;

						t
		1	sin 2 x tg 2 x ex y 0 ;	г) x
	в)				sint			.
		y2
					3
						t	2	1 2t
				y

18

87.а)

в)	3	5xy x 2	ln y

88.а)

y

x	4	y	7

y (sin

ln

2

x tg2x

;

x

3

8

x

4x

x

cos 2t

e ;

г)

t

3

t

2

y ln

2x x)

arctgx 2

1

t

ctgx ;

.

б)

б)

в)

cos(x y) lg	2	y x	4	y	9

89.

а)

y sin

10

;

4 ln 6 3

x t 2

г) 2

y 9t

cos2 x x3

1 tg5t .

t

; б)

y

y

			(6 x)	3
	3

x2

5cos 4x 1 x3 x

2 sin 3 2x x 45

;

;

;

t

2

2

t

ln t

2

y) ln

4

x e

y

x

2

x

в)

ctg(x

;

г)

.

2

8t

y arccos

x

x

7

3

2

90.

а)

y

arccos

ctg

ln

x ;

б)

arcsin

2

2

2

e

t

в)

(x y)

2

3xy tg

2

y 5x

; г)

x (arctg2t arcctg2t)

.

2t 1

y t

	1
y
cos x

	3		lg x
		x

;

У задачах 91-100 виконати вказані завдання.

91.

Під яким кутом перетинаються криві y x

2

та y

2

x ?

92. В якій точці кривої

y 3x

2

5x 1

нормаль до цієї кривої має кутовий

коефіцієнт, що дорівнює 2?

93.

Під якім кутом крива y 3 2

x

перетинає пряму y 3?

94.

Хорда параболи y 3x

2

6x 2 з’єднує точки з абсцисами

x1 1 і

x2 1. Скласти рівняння тієї дотичної, що буде паралельна хорді.

95.

На кривій y x3 2x2

x

лежить точка з ординатою, що дорівнює

y 2 . Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої в цій точці (всі випадки).

19