Вышка

210. Знайти роботу потрібну на будування споруди у формі правильної усіченої чотирикутної піраміди, висотою Н, стороною нижньої основи а і

стороною верхньої основі b. Гущина матеріалу .

У задачах 211-220 знайти загальний розв’язок диференційних рівнянь.

211. а)	xy y ln y 0	б)	x	3	y		x	2	y		1

212. а)

ln(cos x) y ytgx 0

б)

x	2	y xy 1

213. а)

(1 x	2	) y y arctgx

б)

xy y x	2	e	x

214.а)

215.а)

216.а)

217.а)

xy

y xy

2

ln x

(x

2

y x

2

)dy

(xy

2

y

2

)dx

y sin(x y) sin(x y)

(2xy 3)dy y

2

dx 0

б)

б)

б)

б)

	y	y	x(x		1)
		x
			1
	y ctgx y 2
	y x y		x sin	y
				x
	y x y ln x

		xy 2x	2			б) y 2 y
	218. а)			y 4 y

219. а)

2xdy (1 x) sin	2	ytgydx 0

б)

y sin	2	x x sin 2xy

220. а) y	ex y	x
	ex 1

б)

2 yy 3( y )	2	4 y	2

У задачах 221-230 знайти частинний розв’язок диференційного рівняння.

221. y		2 y		x	2	1,		0,	y(0) 1.
							y (0)
									30

222.

	y y sin 2x,	y (0)	1	,
			3

y(0)

1

.

223.

224.

225.

226.

227.

228.

y

3y

2 y e

x

,

y(0) 1.

y (0) 0,

y

2 y

2 y 1 x

2

,

y(0) 2 .

y (0) 1,

y

2 y

10 y 10 x

2

18 x 6,

y(0) 1 .

y (0) 3,2,

y

y

2 y 3e

2x

,

y(0) 2 .

y (0) 5,

y

2 y

8 y 16 x

2

2,

5,

y(0) 0 .

y (0)

4y

4cos2x 12sin 2x,

1,

y(0) 2 .

y

y (0)

229.

y 3y x	2	3x,	y (0) 3,

y(0)

0

.

230.

y 2 y y 3e	x	,	y (0) 1,

y(0)

0

.

У задачах 231-240

рівнянь.

dx 2x y

231.dt

dy 3x 2 y

dt

	dx				5x	8 y
			dt
232.
			dy
					3x	3y
	dt
	dx				6x	3y
233.			dt
			dy
					8x 5 y
			dt
	dx				x 5 y
234.			dt
		dy			2x	y
			dt

знайти загальний розв’язок системи диференційних

	dx		7x y
		dt
236.
		dy
			x 5y 14e	6t
	dt

dx x 2 y

237.dt

dy x 3y

dt

	dx			8 y x
		dt
238.
		dy
				x y
	dt
	dx			3x y
239.		dt
		dy
				4x y
		dt

31

235.

	dx		2x y
		dt
		dy
			10x 5 y 10	6t
	dt

240.

	dx		y 7x
		dt
		dy
			2x 5 y
	dt

У задачах 241-250 виконати вказані завдання.

241.матеріальна точка рухається зі швидкістю обернено пропорційною пройденій відстані. У початковий момент часу точка знаходилась на відстані 3

мвід початку відліку та мала швидкість 15 м/с. Визначити пройдений шлях та швидкість точки через 7 с після початку руху.

242.Знайти рівняння кривої, яка проходить через початок координат та володіє властивістю: кутовий коефіцієнт дотичної у будь-якій її точці дорівнює сумі координат тієї ж точці.

243.Чан циліндричної форми з вертикальною віссю заввишки 6 м і діаметром 4 м має в дні отвір радіуса 1/12 м. Знайти час, за який вода витиче із заповненого чана.

244.Знайти лінію, яка проходить через точку М(3;4), якщо кутовий коефіцієнт дотичної до неї у будь-який точці у два рази менше за кутовий коефіцієнт радіуса-вектора точки дотику.

245.Швидкість зміни температурі тіла пропорційна різниці температур тіла і навколишнього середовища. Нагріте до 100°С тіло охолодилось до 60°С

при температурі навколишнього повітря 20°С за 20 хвилин. Через скільки хвилин температура тіла зменшиться до 25°С.

246.Знайти сім’ю кривих, у яких початкова ордината будь-якої дотичної на 2 одиниці менше за абсцису точки дотику.

247.Моторний човен рухається в стоячій воді із швидкістю 20 км/год.

Через 40 с після того як двигун вимикають, швидкість човна зменшується до 8

км/год. Опір води пропорційний швидкості руху човна. Визначити швидкість човна через 2 хвилини після зупинки двигуна.

32

248. Знайти криву, яка проходить через точку М(1;1) та має таку властивість, що відрізок, який відсікає на осі ординат дотична, дорівнює квадрату абсциси точки дотику.

249. Маса пілота з парашутом становить 80 кг. Опір повітря при опусканні парашута пропорційне квадрату його швидкості (k = 400). Визначить швидкість опускання залежно від часу.

250. Знайти лінію, яка проходить через точку М(2;0), якщо відрізок дотичної між точкою дотику і віссю ординат має сталу довжину l = 2.

У задачах 251 – 260 Дослідити на збіжність числові ряди

				5n			2
	251.
							2
							n
		n 1
				4n			3
	252.
			5n			2	1
		n 1
				n	2		1
	253.		5n			2	3
		n 1

256.

257.

258.

		1
n 2 n 5 ln n
		2n 1				n
		5n 3
n 1
	3n 5
		n!
n 1

254.
	n 1
255.
	n 1

3n 5

3 n

4n 1
e	n

6 n

259.n!n 1

		2n 1		n2
260.
n 1		2n 3

У задачах 261 – 270 дослідити числові ряди на абсолютну та умовну збіжність

					n					( 1)	n			3n 1
		( 1)
261.								266.
				n						n	n 2
n 1		2							n 1
		( 1)			n	n				( 1)	n	(5n			1)
262.								267.
		5n2 1										n!
n 1									n 1
								33

263.
	n 2
264.
	n 1
265.

n 1

( 1)			n
n	3	ln n

( 1)	n		1
			2n 3
			2

( 1)n 3n 1

2n

268.

270.

	( 1)	n
n 1
269.
	n 1
	( 1)	n
n 1	n

3n 5

n!

1 n (n3 n) n6 1

n2

1 !

У задачах 271 - 280 знайти область збіжності степеневих рядів та дослідити їх поведінку в граничних точках інтервалу збіжності

271. а)

272. а)
273. а)
274. а)
275. а)
276. а)
277. а)

x 1 x														1			2				x								1		3				...						б) 2 x			0				2		2		x								2		3	x			2	...
	2 3									2			3		7											2	5		11														1!							2!												3!
3x 2												3x 2											2					3x 2											3						x									x			2							x		3
																																								...			б)																									...
1														3 2															5					2		2								2		3													2								3
																																																				3 3										4				3
x 4									x 4										2							x 4								3									x							x				3								x		5
												3 2														5 2				2						...					б)														2										3	...
1																																											2 4					5					4							8			4
x 2									x 2										2							x 2									3								x				x	2						x		3
1													2																3							...					б)		1!				3!							5!					...
																																																													8 x
x 5									x 5									2								x 5							3									2 x			2				4 x								4									6
3									2					2												3			3							...					б)		5											7										9			...
														3															3
x 2									x 2										2							x 2								3									x						x		2									x		3
5														2																3						...					б)		2 5					3 8											4 11						...
										2 5																3 5																																							x
3x 2										3x 2												2					3x 2										3						5 x						5					x								5
																																																			2								2					3				3
																																							... б)																													...
3														9															27														1!											2!											3!

278. а)

5x 3		5x 3		2		5x 3		3
9		2 9	2			3 9	3	...

б)

x	0			x		x	2
							...
3			3			3
	1			2			3

x 3

x 3 2

x 3 3

1 x

2 x3

3 x5

279. а)

... б)

...

1!

2!

3!

1

4

9

34

	280. а)	2x 3
		2

У задачах 281

		2x 3		2		2x 3			3
		5	2			8	2	2

- 290 розвинути функцію

f

...

(x)

	3 x		5 x		2	7 x		3
б)	2		2	2		2	3

в ряд Тейлора в околі точки

...

x0

281. f (x) 3	x 5,	x 3
		0

	282. f (x)	1	, x0	5
		x 4

283.	f (x) e	4 x	,	x			1
				0			4
284.	f ( x) x	3	,	x		1
					0
285.	f (x)	x,		x		16
				0

286.	f ( x) sin	x		,	x
						0		2
		2

287.	f (x)	1		,			x		2
		x					0
288.	f ( x) 3		x		,		x		2
								0
	f (x) 5									1
289.					x ,			x
								0
290.	f (x) cos(3x),									x
										0		12

У задачах 291 - 300

розвинення в ряд Маклорена

знайти	три
функції	f (x

перших, відмінних від нуля члени

)

291.

	f ( x)	x 1
		( x 3)	2

296.

f ( x) 9	x

292.

293.

294.

295.

	f ( x)		1
		x 5
	f (x) e		1 x	2
	f ( x)		1
		cos x

f (x) ex cos x

297.

298.

299.

300.

f (x) e	sin x
f (x) 3	x	cos x
f (x) tgx
f ( x) sin( x			)
			6

У задачах 301 – 310 обчислити площу фігури, яка обмежена заданими лініями. Обчислення зробити з точністю до 10 3

35

301.

302.

303.

			x	3
	y( x) e		3		,	y 0,	x 0,	x 1

y(x)	1 x		3		,	y 0,	x 0,	x	1
									2
y( x) sin x ,						y 0,	x 0,	x 1

	304. y(x) arctgx3,	y 0,	x	1	,	x 1
				2

305.

306.

307.

308.

				3		),			y 0,	x 0,			x 1
y(x) ln(1 x
y( x)	3	27 x			3		,		y 0,	x 0
y(x) cos 3x				2		,			y 0,	x 0,			x	1
														2
y(x) x		2	sin x			2		,	y 0,	x	1	,	x 1
											2

309.

y(x)	6	1 x	2	,	y 0,	x	1	,	x 1
							2

310.

	y( x) ln		1		1			,	y 0,	x	1	,	x 1
					x	2					2

У задачах 311 - 320 знайти перші три розвинення в ряд Маклорена частинного розв’язку рівняння

311. y x y,

y(0) 1

316.

(відмінні	від нуля) члени
y y(x)	диференціального

			y3
	y		sin x 3	,	y(0) 2

					x y
	312. y		1		x y	,

313.y 2 cos x y2 ,

314.y 2ex x y,

y(0) 1	317.	y e y x,							y(0) 4
y(0) 1	318. y x2					x y,				y(0) 6
y(0) 2					x		x
	319.	y		e		y ,			y(0) 8

36

315.

y x x	3	3	,	y(0) 3
		y

320.

y sin	2	x y	2	,	y(0) 3

У задачах 321 – 330 розвинути функцію

( , )

f (x)

в ряд Фур’є в інтервалі

321.

322.

323.

324.

325.

f (x)	0	при	x 0,
			0 x
	x	при
f ( x)	2	при	x 0,
			0 x
	1	при
f (x) x 2
f ( x)	x
	4

f ( x) 3x 1

					x 0,
		1	при
326.	f ( x)				0 x
	3		при
327.	f (x) 3x 5
	f (x)	x 1		при		x 0,
328.					0 x
		0	при
	f (x)	2x		при		x 0,
329.					0 x
		0	при
330.	f ( x)	x

У задачах 331 – 340 вичислити повторний інтеграл змінивши порядок

інтегрування

331.

332.

333.

334.

1	3	y				2		2 y
dy		(4xy 6)dx				dy		(4xy 6)dx
0		0				1		0
1				0			0		0
dy				(x 2 y)dx dy					(x 2 y)dx
2							1
		2 y							y
1		0			e		ln y
dy			(x 2)dx dy					(x 2)dx
0			y	0			1
0		1					1	1
dy		(4xy3 1)dx					dy (4xy3 1)dx
1		y					0	0

37

335.

336.

337.

0				2			2	1			2			2
	dx ( y 4x							)dy dx			( y 4x				)dy
2			y					0		2x
1				x				4			1
dx			( y 4xy)dy dx								( y 4xy)dy
0				x				1			x
1		x	3					2		2 y
					2								2
dy				(6xy		6)dx dy						(6xy			6)dx
0		0						0			0

338.

339.

1 y e 1

dy (2 y 2x)dx dy (2 y 2x)dx

0	0	1	ln y
2	y / 2	3		3 y
dy	(2xy 4)dx dy			(2xy 4)dx

340.

0	0
3	2	4 x	2
	dx	3xydx

	2		0
	2		4 x	2
		dx	3xydx

0

0

3

0

У задачах 341 – 350 за допомогою подвійного інтегралу знайти об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями.

341. а)

y 1 x

2

;

y x x

2

;

z 0;

z x.

б)

x

2

y

2

z

2

16;

x

2

y

2

4;

x

2

y

2

4.

342. а)

y 2x

2

;

y x 3;

z 0;

z 2x,

x 0.

б)

x

2

y

2

z

2

9;

x

2

y

2

3y.

343. а)

x y

2

;

y z 1;

x 1;

y 0,

z 0.

б) x2 y2

2 y;

z 1,25 x2;

z 0.

344. а) xy 4;

y x;

z x;

x 4,

z 0.

б) x2 y2 6x;	x2 y2 9x;		z x2 y2 ;			z 0;	y 0.
345. а) y x3;	y x2 0;	x 1;		z x,	z 0.
			38

б)

x

2

y

2

1;

z

1 x

2

;

z 0.

346. а)

y

2

x;

y

2

2 x;

z 2 y;

z 0,

y 0.

б)

x

2

y

2

8;

x

2

y

2

2z

2

;

z 0;

z 0.

347. а) x2 y2

8;

x

x 0;

z 0;

z

30y

.

2 y;

11

б)

x

2

y

2

z

2

;

y x;

y 0;

z 2;

x 0.

348. а)

xy 8;

y x

2

;

z 16 x

2

;

z 0;

y 0.

б) x2 y2 4x 0;

z 8 y2;

z 0.

349. а)

x

2

y

2

9;

y

7 x

2

;

z y;

z

0;

z 0;

x

2

y

2

9.

б)

z x

2

y

2

;

z 2x.

350. а)

z 4 x

2

;

y 0;

y x;

z 0,

x 0.

б)

z y

2

;

x

2

y

2

1;

z 0.

У задачах 351 – 360 за допомогою подвійного інтегралу знайти координати центру мас та моменти інерції відносно координатних осів однорідної пластині з поверхневої густиною , обмежених заданими лініями:

351.

352.

353.

354.

355.

356.

357.

y (x 2)				3	;	y
y x	2	;	y		2.

y x2;		y		1		;
				x
y 2 x	2	;	y
y x3;	x 2;
y2 x;	x 0;
y ex ;	x 0;

x 2;

x 0.

y 4; x 0,25 .

1	.

y 0.

y 2.

x 1;

y 0.

39