- •2.1. Моделювання як метод наукового пізнання
- •2.1.1. Сутність моделювання
- •2.1.2. Особливості, принципи математичного моделювання
- •2.1.3. Нелінійність математичних моделей
- •2.2. Особливості математичного моделювання економіки
- •2.2.1. Основні дефініції та підходи
- •2.2.2. Особливості економічних спостережень і вимірів
- •2.2.3. Випадковість і невизначеність економічного розвитку
- •2.2.4. Елементи класифікації економіко-математичних моделей
- •2.2.5. Етапи економіко-математичного моделювання
- •2.2.6. Перевірка адекватності моделі
- •2.2.7. Роль прикладних економіко- математичних досліджень
2.1.3. Нелінійність математичних моделей
У низці випадків у науковій та навчальній літературі для спрощення обмежуються здебільшого лінійними моделями, хоча в наш час бурхливо розвивається науковий підхід — «синергетична економіка», — який спирається на суттєву нелінійність еконо- мічних процесів, досліджує час і зміни в нелінійній економічній теорії1.
У математичному аспекті важливим є поняття лінійності, котре означає, що справедливим є принцип суперпозиції, тобто, що будь-яка лінійна композиція розв’язків (наприклад сума їх) є також розв’язком задачі. Використовуючи принцип суперпозиції, неважко, відшукавши рішення в будь-якому частковому випадку, побудувати рішення для більш загальної ситуації. Тому про якісні властивості загального випадку можна судити виходячи з властивостей часткового — різниця між двома розв’язками має лише кількісний характер. Отже, у випадку лінійних моделей відгук (реакція) об’єкта на зміну умов є пропорційним величині цих змін.
Для нелінійних явищ, математичні моделі котрих не підпорядковуються принципу суперпозиції, знання стосовно до поведінки частини об’єкта ще не гарантують знань про поведінку об’єкта в цілому, а його відгук на зміну умов може якісно залежати від кількісної величини (обсягів) цих змін.
Наголосимо, що більшість реальних процесів і відповідних (адекватних) їм математичних моделей є нелінійними. Лінійні ж моделі відповідають досить частковим випадкам і, як правило, послуговують лише як перше наближення до реальності. Наприклад, моделі популяцій відразу ж стають нелінійними, якщо зважувати на те (взяти гіпотезу), що обмеженість доступних популяції ресурсів необхідно обов’язково враховувати. Будуючи такі моделі, вважають, що:
1) існує «рівноважна» чисельність популяції Np, котру може забезпечити навколишнє середовище (з погляду сьогодення);
2) швидкість зміни чисельності популяції пропорційна цій чисельності, помноженій (на відміну від моделі Мальтуса) на величину відхилення її від рівноважного значення чисельності, тобто:
(2.2)
Співмножник у цьому рівнянні забезпечує механізм «насичення» чисельності — заN < Np (N > Np) швидкість зростання додатна (від’ємна) і прямує до нуля, якщо N Np.
Подамо рівняння (2.2) у вигляді:
Інтегруючи це рівняння, отримаємо:
Постійну інтегрування C можна отримати з умови N(t = 0) = = N(0), тобто
Отже, маємо:
або
Поведінка функції N(t) описується так званою логістичною кривою N(t) (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Логістичні криві, що відповідають різним значенням початкової чисельності N(0)
За будь-якого N(0) чисельність прямує до рівноважного значення Np і, що характерно, тим повільніше, чим ближче N(t) до N(0). Отже, рівновага, на відміну від моделі (2.1), у даному випадку є стійкою. Зазначимо, що логістична модель більш реалістично відображає динаміку популяції порівняно з моделлю Мальтуса, але сама вона в разі необхідності стає нелінійною й тому більш складною. Наголосимо, що припущення щодо механізмів насичення використовуються у формуванні низки моделей різних економічних об’єктів і процесів як на мікро-, так і на макроекономічному рівнях.