3. 3.3. Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид

, (3.11)

где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения [13]). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

.

Интенсивность отказов равна:

.

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

. (3.12)

Средняя наработка до отказа

. (3.13)

4. 3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

, (3.14)

где m_x, _x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m_x и _x.

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

, (3.15)

а интенсивность отказов - по формуле

.

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая _t m_t, характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления [3].

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности [4, 9, 11, 13, 15, 21]: гамма-распределение, -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Следует отметить, что если неравенство _t m_t не соблюдается, то следует использовать усеченное нормальное распределение [19].

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в [13,15], при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений (см. разд. 8).

5. 3.5. Примеры использования законов распределения в расчетах надежности

Определим показатели надежности для наиболее часто используемых законов распределения времени возникновения отказов.

1. 3.5.1. Определение показателей надежности при экспоненциальном законе распределения

Пример. Пусть объект имеет экспоненциальное распределение времени возникновения отказов с интенсивностью отказов  = 2,5  10^-5 1/ч.

Требуется вычислить основные показатели надежности невосстанавливаемого объекта за t = 2000 ч.

Решение.

1. Вероятность безотказной работы за время t = 2000 ч равна

2. Вероятность отказа за t = 2000 ч равна

 (2000) = 1 - Р (2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

3. Используя выражение (2.5), вероятность безотказной работы в интервале времени от 500 ч до 2500 ч при условии, что объект проработал безотказно 500 ч равна

.

4. Средняя наработка до отказа

ч.