поверхность Ферми

Основы физики твердого тела

Поверхность Ферми

Желая придать своим сочинениям побольше занимательности, они [писатели] угощают читателя самыми грубыми вымыслами».

Джонатан Свифт «Путешествия Гулливера»

Поверхность Ферми не является реальной поверхностью, а лишь наглядной иллюстрацией поведения электронов в металлах! Картины поверхностей Ферми объясняют такие свойства металлов, как блеск, ковкость, электропроводимость и теплопроводность. Собственно металл можно определить как твердое тело, обладающее поверхностью Ферми.

Физически поверхность Ферми определяется как поверхность постоянной энергии электронов εF в импульсном k-пространстве.

лекция №4

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

Вспомним как выглядит поверхность Ферми в приближении свободных электронов:

Одночастичные	с волновыми векторами	дисперсия:
волновые функции

ψk (r) =

1

exp(ik r)

2π

2π

2π

h2k 2

k× =

n× ; ky =

ny

; kz =

nz

E(k) =

V

L

2

L

2m

kF = (3π2 n)13

pF = hkF

Импульс Ферми

EF =

h2kF2

Энергия Ферми

2m

vF = pF m

Скорость Ферми

f (E) =

1

Функция Ферми

e( E−µ) / kBT +1

лекция №4

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

Трансляционная симметрия накладывает свои особенности на поверхность Ферми даже в случае, когда мы считаем потенциал ионов равным нулю. Рассмотрим для наглядности двумерный пример.

Черными линиями показаны первые три зоны Бриллюэна квадратной решетки (узлы решетки отмечены черными точками). Синий круг отвечает поверхности постоянной энергии для свободных электронов

(поверхности Ферми в двумерном случае) определенной концентрации.

лекция №4

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

Однако, в такой схеме расширенных зон поверхность Ферми имеет разрывы и картина не обладает наглядностью

Нарисуем теперь двумерные поверхности Ферми около каждого из узлов обратной решетки. Черный квадрат показывает первую зону Бриллюэна. Каждая точка в k-прост- ранстве, попадающая хотя бы в одну из окружностей отвечает заполненным электронным состояниям в первой зоне Бриллюэна. Точки, попадающие одновременно в две окружности отвечают заполеннным состояниям во второй зоне Бриллюэна, одновременно в три – третьей и т.д.

лекция №4

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

Итак, получаем следующую картину. Черный квадрат на рисунке – первая зона Бриллюэна. Синий круг – поверхность Ферми. Серая область – занятые электронные состояния. Таким образом, в нашем примере, первая зона полностью заполнена.

Переходим ко второй зоне. Черный квадрат вновь – первая зона Бриллюэна. Голубые линии – поверхность Ферми для второй зоны Бриллюэна. Серым цветом показаны заполненные электронные состояния во второй зоне Бриллюэна.

лекция №4

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

Так же получаем поверхность Ферми для

третьей, четвертой и т.д. зон

лекция №4

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

В схеме приведенных зон картина выглядит следующим образом:

1-я зона

2-я зона

3-я зона

4-я зона

лекция №4 А вот так она выглядит в схеме периодических зон.

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

Перейдем теперь к случаю, когда потенциал ионного остова не равен нулю, но достаточно слаб чтобы использовать теорию возмущений. В одномерном случае мы уже видели, что слабый периодический потенциал приводит к эффектам дифракции электронов вблизи границ зон Бриллюэна и появлению щелей в энергетическом спектре электронов. Точно так же происходит и в рассматриваемом двумерном случае.

Чтобы качественно представить себе как модифицируется поверхность Ферми за счет слабого потенциала кристаллической решетки нам надо помнить три правила:

1.Поверхность Ферми пересекает границу зон Бриллюэна перпендикулярно к поверхности зон

2.Поверхность Ферми не может непрерывно изменяться при переходе через границу зон, поскольку это бы означало, что в соседних зонах вблизи их границ энергия электронов различна. То есть, вдоль границ зон должен существовать скачок значения волнового вектора электронов.

3.Для одного и того же значения величины волнового вектора │k│энергия электронов в первой зоне ниже энергии электронов во второй зоне и т.д. В итоге электроны перетекают из второй зоны в первую, но при этом

лекция №4	площадь (объем в трехмерном случае) Ферми поверхности сохраняется.

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

Имея в виду отмеченные правила, получаем картину деформированной за счет решеточного потенциала поверхности Ферми.

Скачок значения волнового вектора

На рисунке малиновым и желтым цветом показаны первая и вторая зоны Бриллюэна прямоугольной обратной решетки. Красный круг – поверхность Ферми для свободных электронов, а зеленым показана

лекция №4 поверхность Ферми искаженная слабым потенциалом решетки.

© А.В.Белушкин, 2005

Основы физики твердого тела

зон. Слева – по-

– для второй.

.

Рост потенциала решетки приводит к тому, что все больше электронов стремятся перетечь в первую зону Бриллюэна. В итоге объем Ферми поверхности в первой зоне растет за счет его уменьшения во второй.

При достаточно сильном кристаллическом потенциале все электроны лекция №4 окажутся в первой зоне Бриллюэна (серый пунктир на рисунке).

© А.В.Белушкин, 2005