Analiticheskaya_geom / 1_12_Opredeliteli
.pdfзаменена на i-ю (i 6= j):
:a:1: :a: 2: : ::::::::::::::::::: :a:n: |
||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
i |
i |
i |
|
a1 |
a2 |
: : : : : : : : : an |
||
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
a1 |
a2 |
: : : : : : : : : an |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|||
|
|
|
|
an |
an |
: : : : : : : : : an |
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот определитель, очевидно, равен нулю в нем две одинаковые
строки. Раскладывая его по j-ой строке и учитывая, что алгебра-
ические дополнения к её элементам не зависят от элементов j-ой
строки (она вычёркивается), получим:
n
X
aisAjs = 0:
s=1
Объединяя этот результат с замечанием 1, получим:
asi Asj |
= |
8det A; |
i = j; |
(8) |
n |
|
<0; |
i = j: |
|
s=1 |
|
|
||
X |
|
: |
6 |
|
|
|
|
8. Разложение определителя по столбцу.
Теорема 7.
n
X
det A = asjAsj:
s=1
Доказательство. Каждое слагаемое в (7) есть произведение n
элементов, взятых из различных столбцов. Поэтому в каждом сла-
гаемом элемент j-го столбца фигурирует ровно один раз. Следова-
тельно, каждое слагаемое из этого выражения войдет в нашу сумму,
и притом только один раз. 2
11
Матрицей транспонированной по отношению к матрице
2a12 |
a22 |
: : : an2 3 |
|
||||
a11 |
a21 |
: : : an1 |
|
|
|||
6: : : : : : : : : : : : : : :7 |
; |
||||||
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
6am |
am |
: : : am7 |
|
||||
6 |
1 |
2 |
|
|
n |
7 |
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
называется матрица |
2a21 |
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
: : : a2m |
|
|||
|
|
a11 |
a12 |
|
: : : a1m |
|
|
AT = |
6 ... ... |
|
: : : ... |
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6a1 |
a2 |
|
: : : am |
|
||
|
6 |
n |
n |
|
n |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3
7
7
7:
7
5
Таким образом, строками матрицы AT являются столбцы матрицы A (и наоборот). Например,
2 3T
1 5
"#
67
2 |
6 |
= |
1 |
2 |
3 |
4 |
: |
63 |
77 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
45
4 8
Теорема 8. det(AT ) = det A:
Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку n матрицы A.
При n = 1 утверждение теоремы очевидно.
Допустим, что теорема доказана для n = k. Тогда разложение определителя (k + 1)-го порядка матрицы AT по первой строке совпадает с разложением определителя матрицы A по первому столбу.
2
Следствие. Все утверждения о строках определителя справедливы и для его столбцов.
12
Упражнения
1. Показать, что
1 |
2 |
1 |
: : : |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
: : : |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
: : : |
1 |
|
1 |
|
= n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
: : : |
n |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 : : : 1 |
n + 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выразить трёхдиагональный определитель
|
a2 |
b2 |
c2 |
: : : |
0 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
b1 |
c1 |
0 |
: : : |
0 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = |
|
0 a3 b3 : : : |
0 |
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 : : : bn |
|
|
1 |
cn |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
: : : |
a |
n |
|
b |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через определители n 1 и n 2.
3. Показать, что для произвольного числа k и квадратной мат-
рицы порядка n имеет место равенство
det(kA) = kn det A:
4.Показать, что если все элементы i-й строки представлены в виде суммы aij = a0ji + a00j i, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как в исходном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов a0ji, а в другом из элементов a00j i.
5.Показать, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
6.Пусть
"#
A B
M =
O C
13
блочная матрица, причем матрицы A и C квадратные. Доказать, что
jMj = jAjjCj:
Вывести аналогичную формулу для нижней блочно-треугольной матрицы.
7.Найти частную производную определителя по его элементу.
8.Пусть
h iT h i x = x1; x2; : : : xn ; y = y1; y2 : : : yn :
Показать, что
jE + xyj = 1 + yx:
9.Укажите такие матрицы A и B, что det(A+B) 6= det A+det B.
10.Покажите, что три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда их попарные расстояния lij удовлетворяют со-
отношению
0 |
1 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
l122 |
l132 |
|
|
1 |
l12 |
0 |
l23 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
l2 |
l2 |
0 |
|
= 0: |
|
|
|
2 |
23 |
2 |
|
|
|
13 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.Покажите, что четыре точки лежат на одной плоскости тогда
итолько тогда, когда их попарные расстояния lij удовлетворяют
соотношению
1 |
0 |
l2 |
l2 |
l2 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
= 0: |
||
1 l12 |
0 l23 |
l24 |
|
||||
|
|
|
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
0 |
2 |
|
|
1 |
l13 |
l23 |
l34 |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
2 |
0 |
|
|
1 |
l14 |
l24 |
l34 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Покажите, что для любых пяти точек (в трёхмерном про-
14
странстве) их попарные расстояния lij удовлетворяют соотношению
1 0 l122 |
l132 |
l142 |
l152 |
|
||||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
|
1 |
l12 |
l23 |
l24 |
l25 |
|
= 0: |
||
|
|
|
l2 |
0 l2 |
l2 |
|
||
1 l2 |
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
0 |
2 |
|
|
1 |
l14 |
l24 |
l34 |
l45 |
|
|
||
|
|
13 |
23 |
|
34 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 l2 |
l2 |
l2 |
l2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
25 |
35 |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13. Пусть Bk и Cs квадратные матрицы, соответственно, порядков k и s, Bk Cs блочно-диагональная матрица с блоками Bk и
Cs, Eij матричная единица, т.е. матрица (i; j)-й элемент которой
равен 1, а оставшиеся нулю, g; h числа. Тогда
det((Bk Cs)+hEk;k+1 +gEk+1;k) = det Bk det Cs gh det Bk(k) det Cs1;
где Bk(k) подматрица матрицы Bk, полученные вычёркиванием k-й строчки и k-го столбика, а Cs1 получается из Cs вычёркиванием 1-й строчки и 1-го столбика.
15