Analiticheskaya_geom / 1_18_Podprostranstva

Лекция 18. Остыловский А.Н.

Линейные подпространства. Линейное подпространство. Линейная оболочка. Пересечение и сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств. Прямая сумма. Критерий прямой суммы.

16.1. Линейное подпространство.

Определение 1. Подмножество U линейного пространства L

называется линейным подпространством, если он замкнуто относительно операций сложения своих векторов и умножения их на числа, т.е. если для любых двух векторов x; y 2 U и любого числа 2 R

выполнены условия:

1 x + y 2 U;

2 x 2 U.

Пример 1. Подмножества fog и L являются линейными подпространствами линейного пространства L. Такие подпространства называют тривиальными. Нулевое подпространство fog лежит в любом подпространстве пространства L.

Пример 2. Как следует из лекции 14 множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными и основной матрицей ранга k есть линейное подпространство размерности n k

в линейном пространстве Rn.

Определение 2. Линейной оболочкой множества векторов M = fx1; x2; : : : ; xkg называется множество hMi всевозможных линейных комбинаций этих векторов, т.е.

hMi = f 1x1 + 2x2 + + kxk j 1; 2; : : : ; k 2 Rg:

Нетрудно проверить (проверьте!), что линейная оболочка является линейным подпространством.

Пример 3. В арифметическом линейном пространстве R3 под-

1

множество

U = f( ; ; + 2 )j ; 2 Rg

замкнуто относительно сложения своих элементов и умножения их на числа, т.е. является подпространством. Его геометрическая интерпретация в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определяемая уравнением x + 2y z = 0.

16.2. Пересечение и сумма подпространств.

Определение 3. Пересечением U \ V двух линейных подпро-

странств U и V линейного пространства L называется множество всех векторов пространства L, принадлежащих как U, так и V.

Теорема 1. Пересечение двух линейных подпространств явля-

ется линейным подпространством.

Доказательство. Пусть x; y 2 U \ V. Тогда x; y 2 U и x; y 2

V. Поэтому x + y 2 U и x + y 2 V. Значит x + y 2 U \ V. Если x 2 U\V, то x 2 U и x 2 V. Поэтому x 2 U и x 2 V для любого

2 R. Тогда x 2 U \ V. 2

Определение 4. Пусть U и V линейные подпространства

линейного пространства L. Множество

U + V = fu + v j u 2 U; v 2 Vg

называется суммой подпространств U и V.

Теорема 2. Сумма U + V линейных подпространств U и V

линейного пространства L есть линейное подпространство.
Доказательство. Пусть z; z0 2 U + V, т.е. z = u + v	и
z0 = u0 + v0 для некоторых u; u0 2 U и v; v0 2 V. Тогда z + z0	=

(u + u0)+(v + v0). Так как U и V суть подпространства, то u + u0 2

U и v + v0 2 V. Поэтому z + z0 2 U + V. Аналогично проверяется, что z 2 U + V. 2

2

Теорема 3. Пусть U и V линейные подпространства линейного пространства L. Тогда

dim(U + V) = dimU + dimV dim(U \ V):

Доказательство. Пусть e1; : : : ; ek базис подпространства

U \ V. Дополним его до базиса U (см. упражнение 4 предыдущей лекции):

f1; : : : ; fl; e1; : : : ; ek

и до базиса V:

e1; : : : ; ek; g1; : : : ; gm:

Пусть u 2 U и v 2 V. Тогда существуют разложения

u= 1f1 + + lfl + 1e1 + + kek; v = 1e1 + + kek + 1g1 + + mgm:

Отсюда

u + v = 1f1+ + lfl+( 1+ 1)e1+ +( k+ k)ek+ 1g1+ + mgm:

Таким образом, любой вектор из U + V представим в виде линейной комбинации системы векторов

f1; : : : ; fl; e1; : : : ; ek; g1; : : : ; gm: (1)

покажем, что эта система линейно независима. Пусть

1f1 + + lfl + 1e1 + + kek + 1g1 + + mgm = o: (2)

Отсюда

z = 1f1 + + lfl + 1e1 + + kek = 1g1 mgm 2 U\V:

(3)

Тогда вектор z разложим по базису U \ V x = 1e1 + + kek:

3

Отсюда и из (3) получаем

o = z z = 1e1 + + kek + 1g1 + + mgm:

(4)

Но система e1; : : : ; ek; g1; : : : ; gm, являясь базисом U \ V, линейно независима. Поэтому из (4) следует

1 = = k = 1 = = m = 0:

(5)

Отсюда и из (2) получаем

1f1 + + lfl + 1e1 + + kek = o:

(6)

Теперь из линейной независимости системы f1; : : : ; fl; e1; : : : ; ek следует

1 = l = 1 = + k = 0:

Таким образом, в (2) с необходимостью все коэффициенты равны нулю, что означает линейную независимость системы (1). Значит система (1) есть базис подпространства U \ V. 2

16.3. Прямая сумма. Критерий прямой суммы.

Определение 5. Если пересечение линейных подпространств U

и V нулевое, то их сумма называется прямой и обозначается U V. Из предыдущей теоремы следует:

1)dim (U V) = dim U + dim V,

2)объединение базисов U и V есть базис U V.

Теорема 4. Сумма подпространств U + V является прямой тогда и только тогда, когда любой (некоторый) вектор x из U+V

имеет лишь единственное представление в виде x = u + v (u 2

U; v 2 V).

Доказательство. Пусть сумма U+V прямая, т.е. U\V = fog. Предположим, что для некоторого x 2 U V имеют место два разложения

x = u + v; (u 2 U; v 2 V);

(7)

4

x = u0 + v0; (u0 2 U; v0 2 V):

(8)

Вычитая (8) из (7), получим

o = (u u0) + (v v0):

Отсюда

u u0 = v0 v 2 U \ V:

Но U \ V = fog. Поэтому u = u0, v v0.

Обратно, пусть некоторый элемент x 2 U+V имеет единственное

представление в виде
x = u + v; (u 2 U; v 2 V):	(9)

Докажем, что сумма U + V прямая, т.е. U \ V = fog. Предположим противное, т.е. U \ V 3 z 6= o. Тогда кроме (9) имеем другое представление

x = (u + z) + (v z); (u + z 2 U; v z 2 V):

Противоречие. 2

Упражнения

1. Проверьте, что

U = f( ; ; 2 ) j ; 2 Rg

есть линейное подпространство в линейном пространстве R3. Придумайте другие примеры линейных подпространств в R3, в R4. Дайте геометрическую интерпретацию.

2 . Докажите логическую независимость двух условий в определении линейного подпространства.

3. Найдите базисы суммы и пересечения линейных оболочек

h(1; 2; 1); (1; 1; 1); (1; 3; 3)i и h(1; 2; 2); (2; 3; 1); (1; 1; 3)i:

5