Analiticheskaya_geom / 1_15_16_Sistemy

Лекции 15, 16. Остыловский А.Н.

Остыловский А.Н. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Существование решения. Однородные системы. Структура множества решений. Нахождение решений (основной случай). Матричное решение. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Нахождение решений (общий случай).

13-14.1. Основные понятия. Система уравнений вида

a21x1	+ a22x2	+ + a2nxn	= b2	9
a11x1	+ a12x2	+ + a1nxn	= b1	>	(1)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :				>
				>
				>
				=
am1x1 + am2x2 + + amnxn			= bm >

>

>

>

;

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, : : :, xn.

Здесь предполагается, что aij и bi (коэффициенты системы) известные числа.

ЗАМЕЧАНИЕ. В этих двух лекциях мы не будем пользоваться немым суммированием, поэтому все индексы будем писать внизу.

Набор чисел 1; 2; : : : ; n называется решением системы (1), если каждое уравнение системы превращается в числовое равенство при подстановке в него чисел 1; 2; : : : ; n вместо соответствующих неизвестных x1; x2; : : : ; xn.

Матрица

	2a21	a22	: : : a2n 3
	a11	a12	: : : a1n
A =	6: : : : : : : : : : : : : : : : : :7
	6		7
	6am1	am2	: : : amn7
	6		7
	4		5

называется основной матрицей системы (1).

Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец b,

называемый столбцом свободных членов. Столбец x = [x1; x2; : : : ; xn]T

1

называется столбцом неизвестных.
Матрица	2a21	a22	: : : a2n	j	b2 3
	a11	a12	: : : a1n		b1
A =	6: : : : : : : : : : : : : : : : : : : :j				7
	6				7
	6am1 am2 : : : amn				bm7
	6				7
	4			j	5

называется расширенной матрицей системы.

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной; в противном случае (если хотя бы одно из чисел bi отлично от нуля) эта система называется неоднородной. При

этом система

a21x1	+ a22x2	+ + a2nxn	= 0 9
a11x1	+ a12x2	+ + a1nxn	= 0	>	(2)
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :				>
				>
				>
				=
am1x1 + am2x2 + + amnxn = 0 >

>

>

>

;

называется однородной системой, соответствующей системе (1). Используя введенные обозначения систему (1) можно записать в

матричной форме

Ax = b:

13-14.2. Существование решения.

Теорема 1. (Кронекера-Капелли). Решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда rang A = rang A (ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).

Доказательство. Систему (1) можно записать в виде

2 3 2 3 2 3 2 3

	a11	7		a12
x1	6 a...21		+ x2	6 a...22
	6	7		6
	6 am1	7		6 am2
	6	7		6
	4	5		4

a1n

76

76 a2n

++ xn 6 ...

767

54

amn

b1

7 6 7

76 b2 7

7= 6 . 7:

76 .. 7

5 4 5

bm

2

Тем самым, решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда последний столбец b матрицы A равен линейной комбинации (с коэффициентами x1, x2, : : :, xn) столбцов матрицы A. Значит добавление столбца b к матрице A не увеличивает её (столбцового) ранга. 2

13-14.3. Однородные системы. По теореме Кронекера-Капелли однородная система (2) всегда имеет решение, например, нулевое, т.е. x1 = x2 = = xn = 0. Такое решение называют тривиальным. Любое другое решение системы (2) называют нетривиальным.

Теорема 2. Система (2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда rang A < n, где n количество неизвестных системы.

Доказательство. Нетривиальное решение системы (2) существует тогда и только тогда, когда столбцы матрицы A линейно зависимы, т.е. тогда и только тогда, когда rang A (количество линейно независимых столбцов) меньше n (количества столбцов или, что то же самое, количества неизвестных). 2

Следствие 1. Пусть x1; : : : ; xn попарно различные действительные числа, y1; : : : ; yn произвольные действительные числа. Тогда существует, причём единственный, многочлен P (x) = a0 + a1x + a2x2 + an 1xn 1 такой, что P (xi) = yi, i = 1; : : : ; n.

Доказательство. Совокупность условий P (xi) = yi равносильна системе

2 1		x2	x22	: : : x2n 1	32	a1			3		2 y2	3
6	1	x1	x12	: : : x1n 1	76	a0			7		y1	7
	: : : : : : : : : : : : : :					...				=	6 ...		:
6					76				7		6	7
6	1	xn	x2	: : : xn 1	76 an			1	7		6 yn	7
6			n	n	76				7		6	7
4					54				5		4	5
Положим y1 =			= yn = 0. Эта однородная система имеет толь-
ко нулевое решение a0				= = an 1		= 0, так как многочлен P (x)

3

степени n 1 не может иметь n корней. Значит основная матрица нашей системы невырождена (она называется матрицей Вандермонда). Тогда и при ненулевой правой части система имеет единственное решение. 2

13-14.4. Структура множества решений. Исследуем вначале структуру множества X Rn решений системы (2).

Теорема 3. Если x; y 2 X и 2 R, то x + y 2 X и x 2 X.

Доказательство. Воспользуемся матричной записью системы (2). Имеем:

A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0,

A( x) = A(x) = 0 = 0. 2

Следствие 2. Система (2) имеет либо только тривиальное решение (если rang A = n) , либо бесконечно много решений (если rang A < n) .

Если A Rn b 2 Rn, то по определению

A + b = fa + b j a 2 Rng:

Теорема 4. Пусть Xb множество решений системы (1),

X множество решений соответствующей ей однородной системы (2) и xb произвольное решение системы (1). Тогда Xb = X +xb.

Доказательство. Пусть yb другое решение системы (1). Тогда

A(yb xb) = Ayb Axb = b b = 0;

т.е. z = yb xb 2 X. Отсюда yb = z + xb 2 X + xb, т.е. Xb X + xb. Обратно, пусть x 2 X. Тогда

A(x + xb) = Ax + Axb = 0 + b = b;

т.е. X + xb Xb. Таким образом, X + xb = Xb. 2

Из теоремы 4 и следствия 1 получаем

4

Следствие 3. Система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда rang A = n.

13-14.5. Нахождение решений (основной случай). Рассмотрим систему (1) при дополнительных условиях:

m = n; и rang A = n:

(В этом случае матрица A квадратная, число уравнений равно числу неизвестных и rang A = n). По следствию 2 система имеет единственное решение. Укажем три метода его нахождения.

14.5.1. Матричное решение. Так как det A 6= 0, то существует обратная матрица A 1. Запишем систему в матричной форме

Ax = b:

Умножим слева обе части этого равенства на A 1:

A 1Ax = A 1b:

Так как A 1A = E и Ex = x, то получаем, так называемое, матричное решение системы

x = A 1b:

(3)

13-14.5.2. Формулы Крамера. Вспомнив вид элементов обратной матрицы из (3) получим

1

xi = jAj(A1ib1 + A2ib2 + + Anibn) =

a11

1 a21

jAj ...

an1

... b1

... b2

... ...

... bn

... a1n

... a2n

... ... :

... ann

Последний определитель есть определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой в ней i-го столбца столбцом b. Обозначим его i. Теперь решение можно записать в виде

xi = i ; i = 1; 2; : : : ; n;

5

где = det A. Это формулы Крамера.

Рассмотрим частный случай однородной системы (2) при m = n 1 и условии независимости всех уравнений, т.е. ранг матрицы

системы	2 a21			a22			: : : a2n			3
	a11			a12			: : : a1n
A =	6: : : : : : : : : : : : : : : : :7
	6									7
	6an		1;1	an		1;2	: : : an		1;n	7
	6									7
	4									5

равен n 1. Обозначим через Mi минор (n 1)-го порядка, получающийся вычёркиванием из матрицы A её i-го столбца, i = 1; 2; : : : ; n. Покажем, что тогда одним из решений нашей системы будет система чисел

M1; M2; M3; : : : ; ( 1)n 1Mn;

а всякое другое решение ему пропорционально.

Так как, по условию, rangA = n 1, то один из миноров Mi

отличен от нуля; пусть это будет Mn. Перенесём неизвестное xn в

правую часть каждого из уравнений. Применив правило Крамера к преобразованной системе, получим

xi = ( 1)n 1 Mi xn; i = 1; 2; : : : ; n 1: Mn

Неизвестное xn при этом может принимать любые значения.

13-14.5.3. Метод Гаусса. Изложим этот метод на примере. Рассмотрим систему

x	x	x	;	9	:
x1	+ x2	+ x3	= 2;	>
1 + 2 2 + 3 3			= 2
				>
				=
x1 + 3x2 x3			= 2	>
				>

;

6

Составим расширенную матрицу системы

	2	1	1	1	j	2	3
A =	6	1	2	3	j	2	7	:
	6						7
	4	1	3	1	j	2	5

Первую строку, помноженную, соответственно, на 2 и 3, приба-

вим ко второй и третьей. Получим расширенную матрицу равно-

сильной системы

	2	1				j	3
A1 =	6	3	0		1	j 27		:
	6						7
	4				2	j	5
		2		0			4

Вторую строку прибавим к третьей. Получим расширенную матри-

цу равносильной системы

A =	2	3	0	1	j		23		:
	6	1	1	1		2		7
2					j
	6							7
	4	1	0	0	j	1		5

Это завершает прямой ход метода Гаусса.

Опишем обратный ход. Третью строку, помноженную, соответ-

ственно, на 3 и 1, прибавим ко второй и первой. Получим расши-

ренную матрицу равносильной системы

23

A	=	6	0	1	1	j	1			:
			0	0	1	j	1
3			1	0	0			17
		6				j			7
		4							5

Наконец, вторую строку, помноженную на -1, прибавим к первой

23

A	=	6	0	1	0	j	0			:
			0	0	1	j	1
4			1	0	0			17
		6				j			7
		4							5

7

Этой матрице соответствует система				9
x2	=		0		;
x	=		1	>
3
				>
				=
x1	=		1	>
				>
что даёт единственное решение		исходной системы.
				;

13-14.6. Нахождение решений (общий случай).

Рассмотрим систему (1) при произвольных m, n и условии rang A = rang A = r. По теореме 1 система имеет решение. Найдём его.

Без ограничения общности будем считать, что базисный минор, общий для матриц A и A , лежит в левом верхнем углу матрицы A:

: :a:11: :x:1:+: :a: :12:x: 2: :+: : : : :+: : a: :1r:x: r: :+: : : : :+: :a: :1n:x: :n: : : =: : : :b:1:

9

>

>

a

r1

x

1

+

a

r2

x

2

+

a

rr

x

r

+ +

a

rn

x

n

=

b

r

>

:

>

>

>

>

a: :m:1:x:1: :+: :a:m:2:x: 2: :+: : : : :+: : a: :mr: :x:r:+: : : : : :+: :a:mn: : :x:n: : =: : : :b:m:

=

>

>

>

>

>

>

>

;

По теореме о базисном миноре строки матрицы A с номерами, большими r, представляют собой линейные комбинации первых r её строк. Поэтому последние m r уравнений являются следствиями первых r и, следовательно, могут быть отброшены.

Оставшиеся r уравнений перепишем так:

a: :11:x: :1 :+: : : : :+: : a: :1r:x: r: : :=: : :b:1:+: : :a:1:;r:+1: :x:r:+1: :+: : : : : :+: :a:1:n:x:n:	9	:
	>
	>
	=
ar1x1 + + arrxr = br + ar;r+1xr+1 + + arnxn	>
	>
	;

Эту систему можно рассматривать как систему r уравнений с r

неизвестными x1, x2, : : :, xr. Её определитель, будучи базисным минором, отличен от нуля, поэтому, согласно следствию 2, при любой правой части, в частности при любых xr+1, xr+2, : : :, xn, она имеет

8

единственное решение. Это означает, что числа xr+1, xr+2, : : :, xn

можно выбрать произвольно, полагая

xr+1 = C1; xr+2 = C2; : : : ; xn = Cn r;

а x1, x2, : : :, xr найти, например, методом Гаусса. Таким образом, общее решение нашей системы зависит от (n r) произвольных чисел

C1, C2, : : :, Cn r.

Упражнения

1. Найти многочлен f(x) третьей степени, для которого

f( 2) = 1; f( 1) = 3; f(1) = 13; f(2) = 33:

2. Найти все решения системы

5 x1	+ 3 x2	+ 5 x3	+ 12x 4	= 10 9:
x	x	x	x	= 4	>
2 1 + 2 2 + 3 3			+ 5 4
					>
					=
x1 + 7x2 + 9x3			+ 4x4	= 2	>
					>

;

3. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра :

x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3

9

=1 >

>

=

= 1 :

>

>

= 1 ;

4. При каких условиях данная линейная комбинация любых решений данной неоднородной системы линейных уравнений снова будет решением этой системы?

9