- •Учебное пособие
- •Введение
- •1. Простые проценты
- •1.1. Временная ценность денег
- •1.2. Проценты и процентные ставки
- •1.3. Формула наращения по простым процентам
- •1.4. Практика начисления простых процентов
- •1.5. Простые переменные ставки
- •1.6. Дисконтирование и учет по простым ставкам. Наращение по учетной ставке
- •1.7. Сравнение ставки наращения и дисконтирования
- •1.8. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •2. Сложные проценты
- •2.1. Начисление сложных годовых процентов
- •2.2. Наращение процентовm раз в году. Номинальная и эффективная ставки процентов.
- •2.3. Операции со сложной учетной ставкой
- •2.4. Непрерывные проценты
- •2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок
- •3. Производные процентные расчеты.
- •3.1. Эквивалентность процентных ставок.
- •3.2. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения.
- •3.3. Ломбардный кредит
- •Задачи для контроля знаний, умений и навыков
2.4. Непрерывные проценты
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных решений.
Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле
S=P(1+j/m)mn,
где j – номинальная ставка процентов, а m – число периодов начисления процентов в году.
Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. Увеличение частоты начисления процентов (m) при фиксированном значении номинальной процентной ставки j приводит к росту множителя наращения, который при непрерывном начислении процентов (m) достигает своего предельного значения
(2.5)
Известно, что
,
где е – основание натуральных логарифмов.
Используя этот предел в выражении (2.5), окончательно получаем, что наращенная сумма по ставке j равна
S=Pejn.
Непрерывную ставку процентов называют силой роста и обозначают символом . Тогда
S=Pen. (2.6)
Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при m.
Закон наращения при непрерывном начислении процентов (2.6) совпадает по форме с (2.2) с той разницей, что в (2.2) время изменяется дискретно с шагом 1/m, а в (2.6) – непрерывно.
Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в функциональной зависимости. Из равенства множителей наращения можно получить формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим:
(1+i)n=en,
откуда следует:
=ln(1+i), i=e-1.
Пример 20. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты в течение 5 лет, равна 2000 ден. ед., сила роста 10%. Наращенная сумма составит S=2000·e0,1·5=2000·1,6487=3297,44 ден. ед.
Непрерывное наращение по ставке 10% равнозначно наращению за тот же срок сложных дискретных процентов по годовой ставке i. Находим:
i=e0,1-1=1,10517-1=0,10517.
В итоге получим S=2000·(1+0,10517)5=3297,44 ден. ед.
Дисконтирование на основе силы роста осуществляется по формуле
P=Se-n
Пример 21. Определим современную стоимость платежа из примера 17 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 15%.
Решение. Полученная за долг сумма (современная величина) равна
P=5000·е-0,15·5=5000·0,472366=2361,83 ден. ед.
При применении дискретной сложной учетной ставки такого же размера получили величину (см. пример 17) P=2218,53 ден. ед.
2.5. Расчет срока ссуды и размера процентных ставок
В ряде практических задач начальная (P) и конечная (S) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения и дисконтирования (для простых процентов эти задачи рассмотрены в п. 1.8.).
Срок ссуды. Рассмотрим задачу расчета n для различных условий наращения процентов и дисконтирования.
При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что
,
где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется и в числителе, и в знаменателе.
При наращении по номинальной ставке процентов j m раз в году из формулы (2.2) получаем:
.
При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f m раз в году из формул (2.3) и (2.4) соответственно получаем:
;
.
При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6) получаем:
.
Пример 22. За какой срок в годах сумма, равная 75 тыс. ден. ед., достигнет 200 тыс. ден. ед. при начислении процентов по сложной ставке 12% раз в году и поквартально?
Решение. По формулам для вычисления срока при наращении по сложным ставкам наращения получим:
n=(log(200/75)/log(1+0,12))=3,578 года;
n=(log(200/75)/(4·log(1+0,12/4))=3,429 года;
Расчет процентных ставок. Из тех же исходных формул, что и выше, получим формулы для расчета ставок при различных условиях наращения процентов и дисконтирования.
При наращении по сложной годовой ставке i из исходной формулы наращения (2.1) следует, что
i=(S/P)1/n –1=.
При наращении по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы (2.2) получаем:
j=m((S/P)1/mn –1)=.
При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f m раз в году из формул (2.3) и (2.4) соответственно получаем:
d =1– (P/S)1/n =;
f = m(1– (P/S)1/mn =.
При наращении по постоянной силе роста, исходя из формулы (2.6), получаем:
.
Пример 23. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. ден. ед., его выкупная сумма – 160 тыс. ден. ед., срок 2,5 года. Каков уровень доходности инвестиции в виде годовой ставки сложных процентов?
Решение. Воспользовавшись полученной формулой для годовой ставки i, получим: i=(160/100)1/2,5–1=1,2068–1=0,20684, т.е. 20,684%.
Пример 24. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?
Решение. По данным задачи P/S=0,7. Тогда d=1–=0,16334, т.е. 16,334%.