1.3. Формула наращения по простым процентам
Под наращенной суммой (ссуды, долга, депозита, других видов инвестированных средств) понимается первоначальная ее сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.
Пусть P – первоначальная сумма денег, i –ставка простых процентов (выражена в виде десятичной дроби). Начисленные проценты за один период составят величину Pi, а за n периодов – Pni.
Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины P, P+Pi=P(1+i), P(1+i)+Pi=P(1+2i), …, P(1+ni). Первый член этой прогрессии равен P, разность – Pi, а последний член, определяемый как
S = P(1+ni), (1.3)
является наращенной суммой. Формула (1.3) называется формулой наращения по простым процентам. Множитель (1+ni) называется множителем наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.
Наращенную
сумму S
можно представить в виде двух слагаемых:
первоначальной суммы P
и суммы процентов I,
где I=Pni.
Процесс роста суммы долга по простым
процентам легко представить графически
(рис. 1).
При начислении простых процентов по ставке iза базу берется первоначальная сумма долгаP. Наращенная суммаS растет линейно от времени.
Пример 1. Ссуда величиной 10000 рублей выдана на 1,5 года при ставке простых процентов, равной 14% годовых. Определить величину процентного платежа и сумму накопленного долга.
Решение. I=Pni=10000·1,5·0,14=2100 руб. – проценты за 1,5 года;
S=P+I=10000+2100=12100 руб. или S=P(1+ni)=10000·(1+1,5·0,14)=10000·(1+0,21)= =12100 руб. – наращенная сумма.
1.4. Практика начисления простых процентов
Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях: (1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставление краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает года (n 1); (2) в случае, если проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются.
Ставка процентов обычно устанавливается в расчете за год, поэтому при продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору. Для того, чтобы найти выплачиваемую часть процента, величину n выражают в долях года, например, если известно число дней, то n выражают в виде дроби
,
где n
– срок ссуды, измеренный в долях года;
t – срок операции (ссуды) в днях;
K – число дней в году (временная база).
Возможны несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы и способом измерения срока пользования ссудой.
Если за базу берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом), то говорят, что вычисляют обыкновенный или коммерческий процент. В отличие от него точный процент получают, когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366).
Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором – продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях день выдачи и день погашения считаются за один день.
Итак, возможны 4 варианта расчета простых процентов, 3 из них применяются на практике:
точные проценты с точным числом дней ссуды (схема 365/365, британская практика). Этот вариант дает самый точный результат.
обыкновенные проценты с точным числом дней (схема 365/360, французская практика). Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Надо заметить, что если число дней ссуды превышает 360, то данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой процентной ставкой.
обыкновенные проценты с приближенным числом дней (схема 360/360, германская практика). Данный метод применяется в случае, когда не требуется большой точности (например, при промежуточных расчетах).
Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.
Пример 2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01 до 5.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов?
Решение. При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды t. Точное число дней: (31-20)+28+31+30+31+30+31+31+30+5= =258, приближенное – (30-20)+30*8+5=255.
Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365).
S=1000000·(1+(258/365)·0,18)=1127232,88 руб.
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360).
S=1000000·(1+(258/360)·0,18)=1129000,00 руб.
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360).
S=1000000·(1+(255/360)·0,18)=1127500,00 руб.
Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев (но не всегда) больше приближенного, то метод начисления процентов с точным числом дней ссуды дает больший рост, чем с приближенным.