2. Сложные проценты

2.1. Начисление сложных годовых процентов

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для начисления сложных процентов, в отличие от простых, не остается неизменной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов, а способ вычисления процентных платежей по сложным процентам – вычислением "процента на процент".

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году. Пусть первоначальная сумма долга равна P, в конце первого года сумма долга с присоединенными процентами составит P+Pi=P(1+i), к концу второго года – P(1+i)(1+i)=P(1+i)² и т.д. К концу n-го года первоначальная сумма достигнет величины

S=P(1+i)ⁿ, (2.1)

где S – наращенная сумма, i – годовая ставка сложных процентов, n – срок ссуды. Величину (1+i)ⁿ называют множителем наращения по сложным процентам.

Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель – (1+i).

Пример 10. Ссуда величиной 10000 рублей выдана на 2 года при ставке сложных процентов, равной 14% годовых. Определить величину процентного платежа и сумму накопленного долга.

Решение. По формуле (2.1) находим:

S=P(1+i)ⁿ=10000·(1+0,14)²=10000·1,2996=12996 руб. – наращенная сумма.

Проценты за 2 года: I=S-P=12996-10000=2996 руб.

Отметим, что при сроке n>1 наращение по сложным процентам дает больший результат, чем по простым, а при n<1 – наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах (см. таб. 3). Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается при n=1/2.

Таблица 3

Сравнение множителей наращения, i_пр=i_сл=12%

Множители наращения	Срок ссуды
	30 дн.	120 дн.	180 дн.	1 год	2 года	5 лет	10 лет
1+niпр	1,010000	1,040000	1,060000	1,120000	1,240000	1,600000	2,200000
(1+iсл)^n	1,009489	1,038499	1,058301	1,120000	1,254400	1,762342	3,105848

Переменные ставки. Формула (2.1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

,

где i₁, i₂, …, i_k – последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n_l, n₂, …, n_k соответственно.

Пример 11. Ссуда величиной 15000ден. ед. выдана на 4 года. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года и наращенную сумму к концу срока ссуды.

Решение. Множитель наращения составит (1+0,3)²·(1+0,28)·(1+0,25)=2,704

Наращенная сумма S=15000·2,704=40560 ден. ед.