4. Погрешности косвенных измерений.

Очень часто величину, необходимую получить в работе, нельзя определить прямыми измерениями, а только косвенными. Т.е. искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней известной зависимостью. Пусть величина A связана с прямоизмеряемыми величинами x, y, z ... соотношением

A=f(x,y,z..), а

,

,

…,

тогда (8)

(9)

и (10)

В формуле (9) выражение означает частная производная функции по переменной x, т.е. берется производная когда все остальные переменные y, z,...считаются параметрами (константами). Значения соответствующих частных производных в формуле (9) находится при подстановке вместо переменных x, y ,z... значений

В таблице 1 представлены выражения для вычисления абсолютных и относительных погрешностей косвенных измерений.

Как видно из таб.1, для некоторых косвенных измерений удобно пользоваться формулами для абсолютных погрешностей (сумма, разность, тригонометрические функции), а для некоторых - формулами для относительных погрешностей (произведение, частное, выражения, содержащие степень). Если величина A имеет более сложную зависимость, чем представленную в табл.1, то нужно либо пользоваться общим правилом (9), либо компоновать выражения из табл.1.

Продолжим рассмотрение работы N 24. Следующим этапом в данной работе является нахождение коэффициента восстановления, который ищется по формуле

,

где h - высота, с которой бросается шарик, а h' - высота, на которую шарик подпрыгивает после удара. В нашем случае

h'=(15.350.56)см или h'=(15.350.26)см, а

h=(30.00.5)см или h= (30.000.05)см,

для измерения линейкой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями соответственно. По формуле (8) находим

Для нахождения воспользуемся табл.1. Обозначим h'/h = x, тогда и

Так как x = h'/h, из таблицы 1 находим

Окончательно имеем

Подставляя соответствующие значения, получим

=0.0203 или =0.0093

Отсюда =0.51230.0203=0.0104 или =0.51230.0093=0.0048

Тогда в окончательном виде результат запишется

=0.51230.0104 или = 0.51230.0048 (10)

для случая с сантиметровыми и миллиметровыми делениями соответственно.

5. Запись результатов измерений.

При окончательной записи результатов в виде (5) нужно пользоваться следующими правилами:

1. При записи погрешности следует округлять ее до первой значащей цифры или до двух значащих цифр, если это 10, 11, 12, 13, 14.

2. При записи измеренного значения X последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности.

При этом нужно пользоваться стандартным правилом округления: если следующая за последней значащей цифрой меньше 5, то значащая цифра остается неизменной; если же первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя значащая цифра увеличивается на единицу. В соответствии с этими правилами окончательно результаты (10)запишутся в виде

=0.5120.010 или = 0.5120.005

Если полученные результаты являются промежуточными для дальнейших расчетов (косвенные измерения), и их нахождение не является целью лабораторной работы, то в этом случае в записи результатов в виде (5) можно оставлять две значащие цифры, что мы и проделали при записи результатов для h'.