Виды переменных

1. Экзогенные– (независимые,x) их значения задаются вне модели.

2. Эндогенные – (зависимые,y) их значения определяются внутри модели.

3. Лаговые– (экзогенные или эндогенные) датируются предыдущими моментами времени и находятся в уравнении с текущими переменными.

4. Предопределенные– (лаговые и текущие экзогенные переменные, лаговые эндогенные переменные)

Эконометрическая модель каждого класса направ­лена на объяснение значений текущих эндогенных переменных в зависимости от значений предопре­деленных переменных.

Точность моделирования зависит в том числе и от объема совокупности (выборки). В связи с этим количество значений переменной или объем вы­борки должен быть в 6 — 7 раз больше количества факторов модели.

Эконометрическое моделирование представляет собой ком­плексное решение целого ряда задач, поэтому весь процесс раз­делен на этапы. Такое разделение условно, однако позволяет понять сущность действий эконометриста.

Этапы эконометрического моделирования

1. Постановочный.Формулируется цель исследования (анализ, прогноз, управленческое решение), определяются экономические переменные модели).

2. Априорный.Анализируется изучаемое явление, формируется и формализуется информация известная до начала исследования.

3. Параметризация. Определяется вид модели, выражается в математической форме взаимосвязь между её переменными, формулируются исходные предпосылки и ограничения модели.

4. Информационный.Собирается необходимая статистическая информация.

5. Идентификация модели. Проводится статистический анализ модели, оценивается точность, значимость её параметров и модели в целом.

6. Верификация модели. Оцениваем адекватность модели, т.е. соответствие реальному экономическому процессу.

Лекция №2

Модели парной регрессии

Построение уравнения парной регрессии

Уравнение адекватнореальному моделируемому явлению или процессу в случае соблюдения следующихтребований:

• cовокупность исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями;

• наличие достаточно большого объема исследуемой выбороч­ной совокупности;

• возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей;

• причинно-следственные связи между явлениями и процесса­ми, по возможности, следует описывать линейной (или при­водимой к линейной) формой зависимости;

• отсутствие количественных ограничений на параметры модели

• количественное выражение факторных признаков;

• постоянство территориальной и временной структуры изуча­емой совокупности.

Теоретическая обоснованность моделей взаимосвязи явлений обеспечивается соблюдением определенных условий:

• все признаки и их совместные распределения должны подчиняться нормальному закону распределения;

• дисперсия моделируемого признака должна всё время оставаться постоянной при изменении значений факторного признака;

• отдельные наблюдения должны быть независимы, т.е. результаты, полученные в iнаблюдении, не должны быть связаны с предыдущими и содержать информацию о последующих наблюдениях, а также влиять на них.

При линейной связи параметры (и) уравнения парной регрессии:

(2.1)

находятся с помощью метода наименьших квадратов. Суть метода заключается в минимизации суммы квадратов отклонений теоретических значений результативного признака () от его фактических значений ():

(2.2)

Условие (2.2) выполняется при равенстве нулю частных производных по параметрам и:

(2.3)

Сократим каждое уравнение системы (2.3) на (-2), раскроем скобки и получим следующую систему нормальных уравнений:

(2.4)

Поделим каждое уравнение системы (2.4) на объём статистической совокупности (n), тогда упомянутую систему можно представить в более наглядном виде:

(2.5)

Из первого уравнения системы (1,5) следует, что:

(2.6) Подставив полученное выражение во второе уравнение, получим:

. (2.7) Коэффициент корреляции определяется по формуле:

(2.8) Учитывая (1,7) и (1,8) получим

(2.9)

или . (2.10)

Зная значения r,иможно вычислить по выражениям (2.10) и (2.6) параметрыилинейного уравнения регрессии.

Параметр , нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторного признака на результативный при­знак из-за различия единиц измерения исследуемых показате­лей. Для этих целей вычисляют значение среднего коэффициента эластичности и бета-коэффициент:

(2.11)

(2.12)

Коэффициент эластичности показывает, на сколь­ко процентов изменяется результативный признак упри изменении факторного признакаxна один процент.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину своего среднего квадратического отклонения.

Статистический анализ модели

Оценка параметров парной регрессии выполняется исходя из следующих предпосылок. Допустим, что в генеральной совокупности связь между xиyлинейна. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменнуюyмножества других, неучтенных в уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величиниприобретает вид:

Здесь - случайные ошибки (отклонения, возмущения). Если были бы известны точные значения отклонений, то можно было бы рассчитать значения параметрови. Так как они неизвестны, то по наблюдениямиможно получить только оценки параметрови, которые сами являются случайными величинами в связи с тем, что соответствуют случайной выборке. Пусть- оценка параметра,- оценка параметра, тогда оцененное уравнение регрессии будет иметь вид:

(2.13)

Для того чтобы оценки иобладали адекватностью ряд остатков

должен удовлетворять следующим требованиям:

- математическое ожидание равно нулю (критерий нулевого среднего);

- величина является случайной переменной (критерий серий);

- значения независимы между собой (критерий Дарбина-Уотсона);

- дисперсия постоянна:для всехi, j(тест Гольдфельда-Квандта);

- остатки распределены по нормальному закону (свойство используется для проверки статистической значимости и построения доверительных интервалов при прогнозировании).

Известно, что если данные условия выполняются, то оценки, сделанные с помощью метода наименьших квадратов, обладают следующими свойствами:

- оценки являются несмещенными, т.е. математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению:

Это вытекает из того, что и свидетельствует об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии;

- оценки состоятельны, т.к. дисперсии оценок параметров при возрастании числа наблюдений стремятся к нулю: ;т.е. надежность оценки при увеличении выборки растёт;

- оценки эффективны, т.е. они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра.

Если предположения 3 и 4 нарушены, т.е. дисперсия возмущений непостоянна или значения связаны друг с другом, то свойства несмещености и состоятельности сохраняется, но свойства эффективности – нет.

Отметим, что аппроксимировать уравнением парной регрессии у на х, имеет смысл только в том случае, если существует достаточно тесная статистическая зависимость между случайными величинами и линейный коэффициент корреляции является значимым, что и имеет место в рассматриваемом примере.

Оценка качества построенной модели

Таблица 1.1

Формально качество модели определяется ее адекватностью и точностью. Эти свойства исследуются на основе анализа ряда остатков, значения которых вычислены по выражению. Табл.1.1 содержит:- остатки для задачи, исходные данные которой приведены в табл. 5.2;- ранжированные значения ряда остатков;- остатки за вычетом медианы остатков;- стандартные остатки. Адекватность является более важной составляющей качества, но сначала рассмотрим характеристики точности и нормальности ряда остатков, так какнекоторые из них используются прирасчете различных критериев адекватности.

Характеристики точности

Под точностью понимается величина случайных ошибок. Сравнительный анализ точности имеет смысл только для адекватных моделей: среди них лучшей признается модель с меньшими значениями характеристик точности, к которым относятся:

- максимальная ошибка соответствует максимальному отклонению расчетных значений от фактических;

- средняя абсолютная ошибка

(2.14)

показывает, насколько в среднем отклоняются фактические значения от модели;

- средняя относительная ошибка

; (2.15)

- остаточная дисперсия

; (2.16)

- средняя квадратическая ошибка

. (2.17)

Средняя квадратическая ошибка является наиболее часто используемой характеристикой точности (что объясняется ее связью с остаточной дисперсией, которая играет центральную роль в регрессионном анализе). Значение средней квадратической ошибки всегда несколько больше значения средней абсолютной ошибки, но они имеют схожий смысл – характеризуют среднюю удаленность расчетных значений модели от фактических исходных данных. Обычно точность модели признается удовлетворительной если выполняется условие:

. (2.18)

К характеристикам точности можно отнести также множественный коэффициент детерминации

, (2.19) характеризующий долю дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью регрессии, и множественный коэффициент корреляции (индекс корреляции):

. (2.20)

В случае парной линейной регрессии значение множественного коэффициента корреляции совпадает с линейным коэффициентом корреляции.

Проверка нормальности ряда остатков может быть выполнена приближенно по условиям (7.2). В связи с тем, что каждый из относительных показателей формы распределения () меньше 1,5 эмпирическое распределение ряда остатков не противоречит нормальному.

Проверка адекватности модели

Проверка адекватности модели заключается в определении её значимости и наличии или отсутствии систематической ошибки.

Сначала проверяется значимость параметров уравнения. Если, например, параметр является незначимым, то необходимо с помощью метода наименьших квадратов получить соответствующее уравнение из которого определяется значение параметра.

Проверка значимости осуществляется на основе t– критерия Стьюдента, т.е. проверяется гипотеза о том, что параметр, измеряющий связь, равен нулю.

Средняя ошибка параметра равна:

, (2.21)

а для параметра :

. (2.22)

Расчетные значения t- критерия вычисляются по формуле:

(2.23) Параметр считается значимым, если. Значениеопределяется по табл. 6 Практикума. Входами в табл. являются уровень значимостии количество степеней свободы, где- количество факторов в уравнении регрессии. Прии. Следовательно, в рассматриваемом примере параметрыявляются значимыми.

Параметр лежит в пределах;,

а параметр-;.

Значимость уравнения регрессии в целом определяется с помощью F– критерия Фишера:

(2.24)

Расчетное значение Fсопоставляется с критическимдля числа степеней свободыпри заданном уровне значимости(например,),где..

Если , то уравнение считается значимым.

Проверка наличия или отсутствия систематической ошибки

Проверка свойства нулевого среднего.

Рассчитывается среднее значение ряда остатков

. (2.25)

Если оно близко к нулю, то считается, что модель не содержит систематической ошибки и адекватна по критерию нулевого среднего, иначе – модель неадекватна по данному критерию. Если средняя ошибка не точно равна нулю, то для определения степени ее близости к нулю используется t– критерий Стьюдента. Расчётное значение критерия вычисляется по формуле

(2.26)

и сравнивается с критическим _.Если выполняется неравенство, то модель неадекватна по данному критерию.

Проверка случайности ряда остатков.

Осуществляется по методу серий. Серией называется последовательность расположенных подряд значений ряда остатков, для которых разность (графа 4 табл. 7.4) имеет один и тот же знак, где- медиана ряда остатков, значение которой рассчитано по данным графы 3 упомянутой таблицы.

Если модель хорошо отражает исследуемую зависимость, то она часто пересекает линию графика исходных данных и тогда серий много, а их длина невелика. Иначе – серий мало и некоторые из них включают большое число членов.

В качестве серий рассматриваются расположенные подряд ошибки с одинаковыми знаками. Далее подсчитывается число серий и длина максимальной из них. Полученные значения сравниваются с критическими

(2.27)(2.28) (квадратные скобки означают округление вниз до ближайшего целого).

Если выполняется система неравенств:

, (2.29) то модель признается адекватной по критерию случайности, если хотя бы одно из неравенств нарушено, то модель признается неадекватной по данному критерию.

Проверка независимости последовательных остатков.

Является важнейшим критерием адекватности модели и осуществляется с помощью коэффициента Дарбина-Уотсона:

. (2.30) Для рядов с тесной взаимосвязью между последовательными значениями остатков значениеблизко к нулю, что свидетельствует о том, что закономерная составляющая не полностью отражена в модели и частично закономерность присуща ряду остатков, т.е. модель неадекватна исходному процессу.

Если последовательные остатки независимы, то близко к 2. Это свидетельствует о хорошем качестве модели и чистой фильтрации закономерной составляющей.

При отрицательной автокорреляции остатков (строго периодичном чередовании их знаков) близко к 4.

Для проверки существенности положительной автокорреляции остатков значение сравнивается сииз табл. 2 Приложения к лекции:

если , то гипотеза о независимости остатков отвергается и модель признается неадекватной по критерию независимости остатков;

если , то гипотеза о независимости остатков принимается и модель признается адекватной по данному критерию (в рассматриваемом примере);

если , то значение критерия лежит в области неопределенности.

Если , то возникает предположение об отрицательной автокорреляции остатков, и тогда с критическими значениями сравниваются не, аи делаются аналогичные выводы.

Проверка постоянства дисперсии остатков.

Если на графике остатков они укладываются в симметричную относительно нулевой линии полосу шириной (модуль стандартных остатков меньше 3) и не имеют как положительной так и отрицательной тенденций, то дисперсии ошибок наблюдений можно считать постоянными.

Значения стандартных остатков вычисляются по формуле

, гдеи приведены в графе 5 табл.1.1.

Рис. 2.1. График стандартных остатков

Кроме визуальной оценки постоянства дисперсии существуют и более точные методы, например, тест Гольдфельда-Квандта. Суть теста заключается в следующем. Все nнаблюдений упорядочиваются по возрастанию значений независимой переменной (x) и производится оценка параметров регрессий для первыхи последнихнаблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Для наибольшей мощности теста рекомендуется выбирать значениепорядкаn/3. Далее вычисляется расчётное значение статистики Фишера

,(2.31)

где - суммы квадратов остатков для первыхи последнихнаблюдений соответственно. Далее задаётся уровень значимостии определяетсяс помощью статистических таблиц..

Если то делается вывод о постоянстве дисперсии.

По совокупности четырех критериев делается вывод о принципиальной возможности использования модели: если модель адекватна по критериям постоянства дисперсий и нулевого среднего и хотя бы по одному из двух других критериев, то она может быть принята для использования, хотя и не признается полностью адекватной.

Построение доверительных интервалов

Конечной целью моделирования является оценка или прогнозирование показателя Y в зависимости от значенийX.

Прогноз подразделяется на точечный и интервальный и обычно осуществляется не более чем на одну треть размаха:

,

где - точка прогноза.

В точечном прогнозе показателя Y дляопределяется лишь одно число, которое представляет условное среднее и (при выполнении предпосылок регрессионного анализа) наиболее вероятное значение с точки зрения закономерности, отраженной в модели. В таком прогнозе не учитываются отклонения от закономерностей в результате воздействия случайных и неучтенных факторов.

В интервальном прогнозе отклонения от закономерностей в результате случайных воздействий определяются границами доверительных интервалов.

Доверительным интервалом называется такой интервал, которому с заданной степенью вероятности (называемой доверительной) принадлежат истинные значения показателя при условии, что закономерности, отраженные в модели, не противоречат развитию как на участке наблюдения, так и на участке оценки (или в периоде упреждения прогноза).

Случайные отклонения от модели проявляются в виде ошибок. Поэтому при определении границ, доверительных интервалов необходимо определить из чего складываются возможные ошибки моделирования, оценки и прогнозирования. При условии, что модель адекватна, и возможные ошибки носят случайный характер, следует различать два основных источника ошибок:

ошибки аппроксимации (рассеяние наблюдений относительно модели);

ошибки оценок параметров модели.

Наличие ошибок первого типа очевидно даже визуально. Величина ошибок аппроксимации характеризуется остаточной дисперсией или средней квадратической ошибкой. Распределение этих ошибок для адекватных моделей – нормально (нормальность ошибок – одно из условий адекватности).

Ошибки оценок параметров модели обусловлены тем, что их параметры, фиксированные в модели как однозначные, в действительности являются случайными величинами, так как они оцениваются на основе фактических данных, в которых присутствует как закономерная, так и случайная составляющие. Средние значения этих оценок при выполнении предпосылок регрессионного анализа соответствует истинным значениям параметров, а их дисперсии зависят от остаточной дисперсии, числа наблюдений и вида модели.

Общее среднее квадратическое отклонение истинных значений от расчетных может быть представлено как:

(2.32)

а в точке прогноза:

(2.33)

Исходя из предпосылки нормального распределения остатков границы доверительных интервалов определяются по формулам:

(2.34)

Анализ выражений (2.32, 2.33) позволяет для моделей парной регрессии сделать вывод, что доверительные интервалы тем шире, чем:

- больше остаточная дисперсия (менее точна модель);

- значение больше удалено от среднего значения(см. рис. 2.32);

- сложнее форма модели;

- больше заданная доверительная вероятность.

Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что построенная модель обладает хорошим качеством, т.е. она достаточно точна и адекватна исследуемому процессу по всем перечисленным ранее критериям. Учитывая еще и нормальность ряда остатков можно осуществлять точечный и интервальный прогнозы. В связи с этим табл. 2.2 приведены данные для построения доверительных интервалов.

Массив дополнен двумя значениями:и, которые выделены жирным шрифтом. Значения:- ширина доверительного интервала;- нижняя граница доверительного интервала;- верхняя граница доверительного интервала вычислены по формулам (2.34) с доверительной вероятностью 0,975 и соответствующим ей коэффициентом доверия Стьюдента 2,315. Выбор распределения Стьюдента обусловлен достаточно большим значением относительного показателя асимметрии остатков.

График доверительных интервалов и график их ширины приведены на рис. 2.1 и 2.2.

Рис. 2.2.График доверительных интервалов

Рис. 2.3. График ширины доверительных интервалов

С учетом нормального распределения остатков при среднем значении ВТО фирм равном 1067,43 млн. долл. с вероятностью 0,975 прогнозируемые таможенные платежи в бюджет составят от 27,61 до 31,37 млн. долл., при этом условное среднее (наиболее вероятный объём поступлений) ожидается 29,49 млн. долл.