Проверка гипотезы о независимости двух величин

Пусть наблюдаются две случайные величины _{1, 2}и результаты наблюдений представлены в виде таблицы сопряженности признаков размера kl, n_ij – число наблюдений, в которых случайная величина ₁ попала в i-й интервал, а ₂ в j-й интервал, ,.

Таблица 3

			…
			…
			…
...	…	…	…	…	…
			…
			…

Проверяется гипотеза H₀, утверждающая, что случайные величины ₁ и ₂ независимы. Для проверки этой гипотезы используют статистику

(критерий )

, (3)

где =.

При условии, что гипотеза H₀ верна, а все 4,i=1,2,…,k; j=1,2,..,l статистика (3) имеет распределение с (k-1)(l-1) степенями свободы.

Гипотеза H₀ о независимости случайных величин _{1 , 2} принимается на уровне значимости , если выборочное значение статистики (3) меньше квантили, т.е. если

. (4)

В противном случае гипотеза H₀ отклоняется.

Формулу (3) можно преобразовать к виду, удобному для вычисления:

(5)

Если для некоторых клеток таблицы не удовлетворяют условию4, то соответствующие строки и столбцы должны быть объединены с соседними строками и столбцами.

Пример.

Комплектующие изделия одного наименования поступают с трех предприятий A,B,C, результаты проверки изделий приведены в таблице

Таблица 4

Результаты проверки	Поставщики				Всего ni
	А	В	С
Годные	29	38	53	120
Негодные	1	2	7	10
Всего nj	30	40	60	130

Можно ли считать, что количество изделий не зависит от поставщика ? Принять =0,10.

Проверяется гипотеза о независимости двух признаков: качества изделия и места его изготовления. По формуле (5) находим

;

число степеней свободы (k-1)(l-1) = (2-1)(3-1) = 2. По таблице Приложения 4

.

2,546 = <= 4,61, следовательно гипотеза Но принимается, т.е. качество изделий не зависит от поставщика.

Дисперсионный анализ

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок(групп), полученных из нормальных совокупностей , которые имеют, вообще говоря, различные средние значения a_1,a_2,…,a_l и равные дисперсии .Соответственно объемы выборокn₁, n₂, …, n_l, - общее число наблюдений. Проверяется гипотеза Н₀: a₁=a₂=…=a_l.

Для l = 2 используются рассмотренные ранее критерии значимости.

Если l > 2, то для проверки гипотезы о равенстве l средних применяют однофакторный дисперсионный аналіз.

Суть однофакторного дисперсионного анализа заключается в следующем:

обозначим x_ik - i-й элемент k-ой выборки ,,- выборочное среднее k-ой выборки ,,

- общее выборочное среднее, .

Основное тождество дисперсионного анализа записывается так:

(6)

Запишем его в виде:

Q= Q₁+Q₂ , (7)

где Q- общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего ,

Q₁- сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего ,

Q₂- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних,

Q  0 , Q₁  0, Q₂  0

Рассматривается статистика , (8)

имеет распределение Фишера с (l-1)(n-l) степенями свободы.

Если выполняется неравенство

, (9)

то Н₀ гипотеза принимается на уровне значимости .

Пример .

Три группы водителей обучались по различным методикам. После окончания срока обучения был произведен тестовый контроль над случайно отобранными водителями из каждой группы. Получены следующие результаты

Таблица 5

Номер группы k	Число ошибок xik допущенных водителем	Сумма	Число контролирующих водителей nk
1	1 3 2 1 0 2 1	10	7
2	2 3 2 1 4 - -	12	5
3	4 5 3 - - -	12	3

На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу об отсутствии влияния различных методик обучения на результаты тестового контроля водителей. Предполагается ,что выборки получены из нормальных совокупностей с одной и той же дисперсией.

Н₀: a₁=a₂=a_3, l = 3, n = 15.

Вычисление удобно проводить в следующей последовательности :

,

,

,

.

По формуле (8) получим

.

По таблице Приложения 5 находим квантиль распределения Фишера

,

6,52 = ,

т.е. неравенство (9) не выполняется. Следовательно, результаты тестового контроля зависят от методики обучения , т.е. методики значимо различаются .