Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Петербургский Государственный Университет Путей Сообщения Императора Александра I»
Кафедра «Математика и моделирование»
Контрольная работа по дисциплине
«Теория игр»
Выполнил: Студент
учебной группы
14 ЭБС – 230 Евдокимова. Н.Н.
Проверил:
Руководитель
Санкт – Петербург
2016 Вариант контрольной работы №10. Задача № 1
Возможно строительство четырех типов электростанций: (тепловых),(приплотинных),(бесшлюзовых),(шлюзовых). Эффективность каждого типа зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и т.п. Предположим, что выделено четыре различных состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Состояние природы обозначим, ,,. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей.
A =
Задачи, которые необходимо выполнить:
Дать рекомендации ЛПР согласно критериям:
критерий Лапласа;
максиминный критерий Вальда;
критерий Гурвица ();
критерий Сэвиджа);
Решение:
Критерий Лапласа:
В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). Эти условия зависят не от сознательных действий игроков, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с «природой». Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос) действует случайно.
Критерий Лапласа основан на гипотезе равные вероятности и здесь предполагают, что все состояния природы равновероятны: .
При принятии данной гипотезы в качестве оценки стратегии надо брать соответствующий её средний выигрыш, то есть:
Fi =
Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.
F1 =(1 + 4 +3 +2)/4 = 2,5;
F2 = (1 + 1 + 1 + 4)/4 = 1,75;
F3 = (4 + 4 + 1 + 2)/4 = 2,75;
F4 = (2 + 2 + 2 +4)/4 = 2,5;
Видно, что функция полезности максимальна для альтернативы А3, следовательно выбираем стратегию A3, т.е. строительство бесшлюзовых электростанций.
Максиминный критерий Вальда:
Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности α1 (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный.
Оптимальная по данному критерию стратегия находится из условия, то есть.
α1 = 1; α2 = 1; α3 = 1; α4 = 2;
Видно, что наилучшим из наихудших показателей обладает альтернатива А4 , для нее наибольшее α4 = 2.
Вывод: выбираем стратегию A4 - строительство шлюзовых электростанций.
Критерий Гурвица (α = 1/2);
Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» игрока . Введем некоторый коэффициент α, который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для игрока исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-). Коэффициент доверия α показывает, насколько игрок может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для игрока равны, то α=0,5.
Для реализации критерия определяются наилучшие ai+ и наихудшие ai− значение каждой альтернативе по формулам , ., . Далее, вычисляются функции полезности по формуле:
Fi = ai+*α + ai−*(1 – α)
Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.
F1 = 4*0,5 + 1*(1-0,5) = 2,5;
F2 = 4*0,5 + 1*(1-0,5) = 2,5;
F3 = 4*0,5 + 1*(1-0,5) = 2,5;
F4 = 4*0,5 + 2*(1-0,5) = 3;
В соответствии с расчетами игроку следует выбрать стратегию А4, строительство шлюзовых электростанций. Так как функция полезности максимальна.
Критерий Сэвиджа)
Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.
R = ;
Элементы матрицы рисков находятся по формуле: rij = max aij - aij;
Оптимальная стратегия определяется выражением: mini(maxj rij);
R =
Согласно критерию Сэвиджа определяем:
mini(maxj rij) = mini (3, 3, 2, 3) = 2
В соответствии с этим критерием выбираем стратегию A3 и предлагается строить бесшлюзовую электростанцию.
Ответ:
В результате решения матричной игры, по различным критериям производилось исследование матричной игры. И в результате рекомендуется для выполнения стратегия A3 или A4.