1.2 Проектирование стропильной конструкций.

1.2.1Двускатная решетчатая балка.

Решение.

Для анализа напряженного состояния решетчатой балки построим эпюры М,NиQот суммарного действия постоянной и снеговой нагрузки.

Согласно эпюрам усилий NиM, наиболее неблагоприятные сочетания усилий для расчета прочности нормальных сечений верхнего и нижнего поясов балки имеем в контуре с сечениями 3,4 и 11,12, а для расчета прочности наклонных сечений в поясах опасными будут сечения в контуре 1,2 и 9,10.

Нормативные и расчетные характеристики тяжелого бетона класса В40, твердеющего в условиях тепловой обработки при атмосферном давление,

_b2=0,9 (для влажности 55%):R_bn=R_b,ser=29 Мпа;R_b =22 Мпа;R_btn=R_bt,ser=2,1 Мпа;

R_bt =1,4 Мпа; E_b=32500 Мпа; R_bр=25 Мпа; R ^(р)_b,ser =18,5Мпа; R ^(р)_bt,ser =1,6Мпа.

Расчетные характеристики напрягаемой арматуры:

Продольной класса А-3, R_s=R_su=355 Мпа;E_s=210000 Мпа; поперечной класса Вр-1 диаметром 4 мм,R_sw=265 Мпа;E_s=170000 Мпа.

Нормативные и расчетные характеристики напрягаемой арматуры класс А-5: R_sn=R_s,ser= 785 Мпа;R_s=680 Мпа;E_s=190000 Мпа.

Назначаем величину предварительного напряжения арматуры _sр=450Мпа. Способ натяжения механический на упоры. Проверяем условие (1) [2] при р=0,05_sр=0,05450=22,5 Мпа.

Так как _sр+р =450+22,5=472,5 Мпа<R_s,ser=785 Мпа и

_sр-р =450-22,5=427,5 Мпа> 0,3R_s,ser=235,5 Мпа, то условие выполняется.

Принимаем _sр=^’_sр=450 Мпа.

Расчет элементов нижнего пояса балки.Сечение 12, нормальное к продольной оси элементаN=951,41 , М=21,25 кНм.

Расчет прочности выполняем согласно п. 3.50 [4]. Вычисляем эксцентриситет продольной силы е₀= М/N= 21,25/951,41=22,3 мм. Так как е₀=22,3 мм <(h₀-a^’_р)/2= =(240-60)/2=90 мм, то продольная сила приложена между равнодействующими усилий в арматуреS_риS^’_р, а эксцентриситеты соответственно равны:

е^’=е₀+h/2-a^’_р=22,3+300/2-60=112,3 мм.

е = - е₀+h/2-a_р=-22,3+300/2-60=67,7 мм.

По формулам (138) и (139) [4] находим требуемые площади сечения напрягаемой арматуры:

А_sр=Nе^’/[R_s(h₀-a^’_р)]=951,4110³112,3/[1,15680(240-60)] =759 мм²;

(принимаем 3 18 А_s=763 мм²);

А^‘_sр=Nе/[R_s(h₀-a^’_р)]=951,4110³67,7/[1,15680(240-60)] =759 мм²;

(принимаем 2 18 А_s=509 мм²); где= 1,15 (см. п. 3.7[4])

Расчет трещиностойкости нижнего пояса балки выполняем на действие усилий от нормальных нагрузок, величина которых получим путем деления расчетных усилий на среднее значение коэффициента надежности по нагрузке _fm=1,207. Для рассматриваемого сечения получим:

Усилия от суммарного действия постоянной и полного значения снеговой нагрузки

_

N=N /_fm=951,41/1,207=788,26 кН,

_

N=М /_fm=21,25/1,207=17,6 кНм;

Усилия от постоянной и длительной части снеговой нагрузки

_

N_l=[N_q+(N-N_q)k_l)/_fm=[778,47+(951,41-778,47)0,3]1,207=687,94 кН,

_

М_l=[М_q+(М- М_q)k_l)/_fm=[17,39+(21,25-17,39)0,3]1,207=15,36 кНм,

Где N_q и М_q усилия от постоянной нагрузки, аk_l=0,3-коэффициент, учитывающий долю длительной составляющей снеговой нагрузки согласно п.7.17 [7].

Геометрические характеристики приведенного сечения определяем по формулам (11)-(13)[4] и (168)-(175)[5].

Площадь приведенного сечения

А_red=A+(A_sр+ A’_sр)=200300+5,846(763+509)=67436,112 мм²

Где =E_s/E_b=190000/325000=5,846

Статический момент приведенного сечения относительно нижней грани

S_red=bh²/2+A_sрa_р+A’_sр (h-a’_р)=200300/2+5,84676360+5,846509(300-60)=998, 210⁴ мм³

Расстояние от нижней грани до центра тяжести приведенного сечения

у₀=S_red/ А_red=998, 210⁴/67436,112=148 мм.

Момент инерции приведенного сечения

I_red=I+ A_sрy²_sр+ A’_sр y’²_sр=200300³/12+5,84676386²+5,84650994²=5,09310⁸ мм⁴

Момент сопротивления приведенного сечения для нижней грани, наиболее растянутой от внешней нагрузки

5,09310⁸/148=3,441110⁶мм³.

Упругопластический момент сопротивления по наиболее растянутой зоне в стадии эксплуатации =1,753,441110⁶мм³, где=1,75 (см. табл. 38[5])

Определим первые потери предварительного напряжения арматуры по поз. 1-6 табл. 5[2] для механического способа натяжения арматуры на опоры.

Потери от релаксации напряжений в арматуре:

450-20=25 Мпа.

Потери от температурного перепада:

1,2565=81,25 Мпа.

Потери от деформации анкеров, расположенных у натяжных устройств:

(3,95/19000)190000=39,5 Мпа.

Где =1,25+0,15d=1,25+0,1518=3,95 мм,l=18+1=19 м =19000 мм.

Потери равны нулю.

Таким образом, усилие обжатия с учетом потерь и эксцентриситет его относительно центра тяжести приведенного сечения будут соответственно равны:

Р₁=(A_sр+A’_sр)(_sр-₁-₂-₃)=(763+509)(450-25-81,25-39,5)=387 кН

е_ор= (_sр1A_sрy_sр-’_sр1A’_sрy’_sр)/ Р₁=(304,2576386-304,2550994)/387000=14 мм.

Определим потери от быстронатекающей ползучести бетона, для чего вычислим напряжения в бетоне на уровне арматур S_риS^’_р:

На уровне арматуры S_р(у=y_sр=86 мм)

На уровне арматуры S^’_р(у=y_sр=94 мм)

Соответственно потери напряжений при R_bр=25 Мпа будут равны:

На уровне арматуры S_р-=0,25+0,025R_bр=0,25+0,02525=0,875>0,8 т.е.=0,8, поскольку_bр/R_bр=6,65/25=0,26<то₆=0,8540_bр/R_bр=0,85400,26=9,044 Мпа

На уровне арматуры S’_р-при’_bр/R_bр=4,74/25=0,1896 <то

’₆=0,8540’_bр/R_bр=0,85400,1896=6,4464 Мпа

таким образом, первые потери будут равны:

_los1=₁+₂+₃+₆=25+81,25+39,5+9,044=154,794 Мпа

’_los1=’₁+’₂+’₃+’₆=25+81,25+39,5+6,4464=152,1964 Мпа

соответственно получим напряжения в напрягаемой арматуре

_sр1=_sр -_los1 =450- 154,794 =295,206 Мпа

’_sр1=’_sр -’_los1 =450- 152,1964 =297,8036 Мпа

Определим усилия обжатия с учетом первых потерь и его эксцентриситет

Р₁=_sр1+A_sр+’_sр1A’_sр=295,206763+297,8036509=376,8242 кН

е_ор1=(_sр1A_sру_sр-’_sр1A’_sру’_sр)/Р₁=(295,20676386-297,803650994)/376824,2=13,6 мм

Проверим максимальное сжимающее напряжения от действия силы Р₁при у=у_о=146 мм

поскольку _bр/R_bр=7,06/25=0,28<0,95, то требования табл. 7[2] удовлетворяются.

Определим вторые потери предварительного напряжения арматуры табл 5[2]

Потери от усадки бетона₈=’₈=40 Мпа

Напряжение в бетоне от действия силы Р₁с эксцентриситетом е_ор1на уровнях арматурS_риS^’_рсоответственно будут равны_bр=6,45 Мпа и’_bр=6,45 Мпа (вычисления опущены)

Потери от ползучести бетона на уровне арматур S_рпри_bр/R_bр=6,45/25=0,258<0,75 будут равны₉=1500,85_bр/R_bр=1500,850,258=32,895 Мпа

То же, для арматуры S’_рпри’_bр/R_bр=4,64/25=0,1856<0,75 будут равны₉=1500,85_bр/R_bр=1500,850,1856=23,664 Мпа

Таким образом, вторые потери будут равны:

_los2=₈+₉=40+32,895=72,895 Мпа

’_los2=’₈+’₉ =40+23,664=63,664 Мпа

а полные потери составят

_los=_los1+_los2=154,794+72,895=227,688 Мпа

’_los =’_los1+’_los2 =152,1964+63,664=215,86 Мпа

Напряжения с учетом всех потерь в арматурах S_риS^’_рбудут равны:

_sр2=_sр-_los=450-227,688 =222,31 Мпа

’_sр2=’_sр-’_los=450-215,86 =234,14 Мпа

Усилия обжатия с учетом суммарных потерь и его эксцентриситет соответственно составят:

Р₂=_sр2А_sр+’_sр2А’_sр=222,31763+234,14509=288,8 кН

е_ор2=(_sр2А_sру_sр+’_sр2А’_sру’_sр)/ Р₂=(222,3176386+234,1450994)/ 288,810³=11,72 мм

Проверку образования трещин выполняем по формулам п.4.5[2] для выяснения необходимости расчета по ширине раскрытия трещин. Определим расстояние rот центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой внешней нагрузкой грани. ПосколькуN=788,26> Р₂=288,8 то величинуrвычисляем по формуле

Тогда момент усилия предварительного обжатия относительно оси, проходящей через ядровую точку, будет равен

М_rp=Р₂(е_ор2+r)=288,810³(11,72+80,43)=26,613 кНм;

И соответственно момент, воспринимаемый сечением при образование трещин, составит

М_сrс=R_bt,ser+ М_rp=2,16,02210⁶+26,61310⁶=39,26 кНм;

Момент внешней продольной силы относительно той же оси

М_r=N(е_о+r)=788,2610³(22,3+80,43)=80,98 кНм;

Поскольку М_сrс=39,26 кНм< М_r=80,98 кНм, то трещины, нормальные к продольной оси, образуются и требуется расчет по раскрытию трещин.

Определим величину равнодействующей продольной силы N_totи ее эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения

N_tot =N –Р₂=788,26-288,8=499,46 кН

е_о,tot=(М-Р₂ е_ор2) N_tot =(17,610⁶-288,810³11,72)/499,4610³=28,46 мм.

Поскольку е_о,tot=28,46<0,8h_о=0,8240=192 мм, то приращения напряжений в арматуре_s определяем по формуле (148) [2] при е_s=у_о-а_р-е_о=146-60-22,3=63,7 мм,

е_sр=у_о-а_р-е_ор2=146-60-11,72=74,28 мм,z_о=h_о-а’_р=240-60=180 мм.

Приращение напряжений в арматуре S_рот действия полной нагрузке

то же от действия длительной нагрузки

Вычислим ширину раскрытия трещин от непродолжительного действия полной2 нагрузки по формуле (144) [2]:

а_crc=_l (_s/E_s)20(3,5-100)=1,211(445,2/190000)20(3,5-1000,02) =0,221 мм

Где =1,2;_l=1;=1 для арматуры класса А-5

=А_sp/(bh_о)=763/(200178,46)=0,02114>0,02 принимаем=0,02;

h_о=h/2+ е_о,tot=300/2+28,46=178,46 мм;d=18 мм –диаметр стерневой продольной арматуры.

То же, от продолжительного действия длительной нагрузки

а_crc=1,211(360,24/190000)20(3,5-1000,02) =0,1788 мм

То же, от продолжительного действия длительной нагрузки (_l=1,3)

а_crc=1,21,31(360,24/190000)20(3,5-1000,02) =0,2325 мм

Таким образом ширина непродолжительного раскрытия трещин от действия длительных и кратковременных нагрузок будет равна

а_crc1=0,221-0,1788+0,2325=0,2747 мм < [0,4 мм], а ширина продолжительного раскрытия трещин составит а_crc2=0,2325 мм < [0,3 мм], следовательно, удовлетворяются требования к нижнему растянутому поясу балки по трещиностойкости.

Выполняем расчет прочности наклонного сечения нижнего пояса балки с учетом возможного перераспределения усилий между поясами в панели с расчетными сечениями 1,2 и 9,10. Учитывая возможность перераспределения поперечной силы на верхней сжатый пояс балки, определим фактическую несущую способность нижнего пояса на действие поперечной силы, приняв поперечное армирование по конструктивным соображениям в виде замкнутых двухветвевых хомутов из арматуры диаметром 4 мм класса В_р-1 с шагомs=200 мм (A_sw=212.6=25,2 мм²,R_sw=265 Мпа, Е_s=170000 Мпа).

Расчет выполняем согласно п.3.54.[4] с учетом действия продольной растягивающей силы N=842,72 кН и усилия обжатия от напрягаемой арматуры, расположенной в наиболее растянутой зоне Р=_sр2А_sр = 223,31763=170,385510³кН.

Определим коэффициент _n=

Поскольку _n =2>0,8, принимаем_n= -0,8.

Вычисляем величины М_bиq_sw:

М_b =_b2(I+_n)bh_о² =2(1-0,8)1,4200240²=6,451210⁶

Где _b2=2 (см. табл. 29[4]или прил. П.3.31[2])

q_sw=A_swR_sw/s=25,2265/200=34,4 Н/мм.

Находим Q_b,min=_b3(1+_n) bh_о=0,6(1-0,8)1,4200240=8,064 кН.

Поскольку q_sw=34,4 Н/мм >Q_b,min/(2h_о)=8064/(2240)=16,8 Н/мм , то значение М_b не корректируем.

Тогда длина проекции наклонной трещины будет равна

с_о=

Так как поперечная сила не изменяется по длине элемента, принимаем длину проекции наклонного сечения равной длине элемента, т.е. с=700 мм.

При этом с<(_b2/_b3)h_о=(2/0,6)240=800 мм.

Тогда Q_b= М_b/с=6,451210⁶/700=9,216 кН >Q_b,min=8,064 кН, а

Q_sw=q_swс_о=33,439,48=14,684кН

Таким образом, предельная несущая способность нижнего пояса балки в наиболее опасном наклонном сечении будет равна

Q=Q_b+Q_sw=9,216+14,68=23,9 Кн, что меньше максимального значения поперечной силы от нагрузки 27,4 кН. Следовательно при расчете прочности верхнего пояса балки на действие поперечной силы необходимо учесть дополнительное усилие=27,4-23,9=3,5 кН.

Расчет элементов верхнего пояса балки. Сечение 4, нормальное к продольной оси элементаN=957,55 кН, М=46,95 кНм,N_l=…. М_l=….

Расчетная длина в плоскости балки будет равна l_о=0,91,5=1,35 м. Так какl_о/h=1350/420=3,21<4,то расчет ведем без учета прогиба элемента.

Находим е_о=M/N=46,95/957,55=0,049=49 мм.

Поскольку случайный эксцентриситет е_а=h/30=420/30=14 мм< е_о=49 мм, то оставляем для расчета е_о=49 мм. По формуле (111)[3] получим:

е= е_о+(h_о-а’)/2=49+(380-40)/2=219 мм.

Требуемая площадь сечения продольной рабочей арматуры класса А-3 (R_s=R_sс=355 Мпа) определим согласно п. 3.68 [3]. Предварительно вычислим коэффициенты_R и_R

по формулам п. 3.14 [3].

=0,85-0,008R_b=0,8-0,00822=0,674

_R=_R (1-0,5_R )=0,5(1-0,50,5)=0,375

Тогда по формулам (123) и (124) [3] получим:

Принимаем в сжатой зоне и в растянутой зонах конструктивное армирование по 210 А-3, А_s= А’_s=157 мм²>_min= 0,0005bh_o=0,0005200380=38 мм².

Элемент 1-2, сечение, наклонное к продольной оси Q=40,51 кН,N=849,08 кН

Так как при расчете по наклонным сечениям нижнего пояса балки несущая способность оказалась меньше требуемой, то с учетом перераспределения усилий будем проектировать поперечную арматуру в верхнем поясе на восприятие поперечной силы

Q_max=Q+Q=40,51+3,5=44,01 кН. Расчет выполняем согласно пп.3.21-3.30[4].

Проверим условие (92) [4]: 2,5R_btbh_o=2,51,4200380=266 кН>Q_max=44,01 кН, т.е. условие выполняется.

Проверим условие (93) [4], принимая значение сравным М_b1/Q_crc, но не более пролета 700 мм. Для этого определим значения М_b1 иQ_crc, принимая

_n=0,1N/(R_btbh_o)=0,1849,0810³/(1,4200380)=0,798>0,5, принимаем_n=0,5 и_b4=1.

Тогда:

М_b1 =_b4(1+_n)R_btbh²_o=11,51,4200380²=106,13 кНм. Статический момент части сечения, расположенной выше оси, проходящей через центр тяжестиS=bh²/8=200420/8=4,4110⁶мм³. Из графика 18 [4] при=N/(R_btA)=849,0810³/(1,4200420)=7,22 находим=2, т.е._xy,crc=R_bt=21,4=2,8 Мпа.

Тогда Q_crc=_xy,crcbI/S=2,82001,234810⁹/4,4110⁶=156,8 кН;

где I=bh³/12=200420³/12=1,234810⁹мм⁴.

Вычисляем с= М_b1/Q_crc=106,1310⁶/156,810³= 676,8 мм, что менее 2h_o=2380=760 мм и менее пролета 700 мм.

Поскольку Q_b1=M_b1/с =156,8 кН >Q_max= 44,01 кН, то прочность наклонного сечения обеспечена без поперечной арматуры.

С учетом конструктивных требований для сжатых элементов принимаем поперечную арматуру для верхнего пояса балки диаметром 4 мм класса Вр-1 с шагом, равным 20d=2010=200 мм.

Расчет стоек балки.Стойки решетчатой балки рассчитывается на неблагоприятные сочетания усилийNиMбез учета длительности действия нагрузок, так как всегдаl_o/h<4. Для примера рассмотрим порядок определения площади сечения продольной арматуры в сжато-изогнутой стойке 17-18,N=2,13 кН ,M=18,04 кНм, -M=-8,58 кНм.

Сначала определяем сечение продольной рабочей арматуры у наиболее растянутой грани при действие изгибающего момента М=+М=18,04 кНм. Вычисляем эксцентриситетые_оие:

е_о=M/N=18,04/2,13=8469 мм;

е= е_о+(h_o-a’)/2=8469+(460-40)/2=8679 мм.

Расчет сечения несимметричной продольной арматуры выполняем по формулам (121)-(129) [3].

, то расчет ведем без учета сжатой арматуры.

Находим _m=Ne/(R_bbh²_o)=2,1310³8679/(22200460²)=0,02; соответственно по рил. 4 находим=0,02, тогдаA_s=(R_bbh_o-N)/R_s=(0,0222200460-2,1310³)/355=108,03 мм². Принимаем у левой грани 210 А-2 (А_s,fact=157 мм²>_min=0,0005200460=46 мм²).

Требуемая площадь сечения растянутой арматуры у правой грани при действии М==8,58 кНм по аналогичному расчету составитA_s=66,9 мм². С учетом сортамента арматуры класса А-2 принимая у правой грани 210 А-2.

Расчет прочности по наклонному сечению опорной части балки.

Подбор поперечной арматуры в опорной части балки выполняем согласно пп. 3.22, 3.23 и 3.26 [4] на действие поперечной силы Q_max=249,96 кН с учетом усилия обжатия

Р=391,31 кН. Рабочая высота в конце наклонного сечения будет равно

H_o=h₁+c/12-(a_p+e_sp)=890+2850/12-(60+75,2)=992 мм.

Определим значения M_bиQ_b,min, для чего находим:

_n=0,1Р/(R_btbh_o)=0,1391,3110³/(1,4200992)=0,141<0,5

Тогда:

М_b =_b2(1+_n)R_btbh²_o=1,75(1+0,141)1,4200992²=550,2 кНм.

Q_b,min =_b3(1+_n) R_btbh²_o=0,4(1+0,141) 1,4200992²=126,8 кНм.

Определяем требуемую интенсивность хомутов, принимая длину проекции наклонного сечения равной расстоянию от опоры до первого груза с₁=2850 мм, где поперечная силаQ₁=Q_mах249,96 кН. Находим с= М_b1/с₁=550,410⁶/2850= 193,12 кН>Q_b,min=126,8 кН.

Тогда х₁=(Q₁-Q _b1)/Q _b1=(249,96-193,12)/193,12=0,294.

Поскольку с₁=2850 мм>2h_o=2992=1984 мм, то принимаем с_о=2h_o=1984 мм, в этом случае будем иметь:

Так как х₁=0,294<х_о1= 0,657, то требуемую интенсивность хомутовq_swнаходим по формуле

Согласно п. 5.42 [4], шаг хомутов должен быть не более 1/3 h₁= 890/3=297 мм и не более 500 мм. Максимально допустимый шаг хомутов по формуле (67) [4] равен

s_max=_b4(1+_n) R_btbh²_o/Q_max=1 (1+0,141) 1,4200992²/(249,9610³)=1258 мм.

Назначаем шаг хомутов s=250 мм, тогда получимA_sw=q_sws/R_sw=49,9250/175=71 мм². Принимаем двухветвевые хомуты диаметром 8 мм из стали класса А-1 (A_sw,fact=101 мм²).