Тема 5. Ряды динамики

ЗАДАЧИ

№ 1. Имеются данные о розничном товарообороте района (млн.руб.):

Товарооборот района	1985 г.	1986 г.	1987 г.	1988 г.	1989 г.	1990 г.
В старых границах	480	500	540	-	-	-
В новых границах	-	-	648	694	728	770

П р и в е д и т е ряды динамики к сопоставимому виду (сомкните ряды). Укажите вид полученного ряда динамики. Начертите линейный график.

№ 2. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятия текстильной промышленности за первое полугодие 1989 г. (тыс. руб.):

Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
620	615	625	630	632	628

Исчислите среднемесячное производство продукции предприятия за первый квартал, за второй квартал, за второй квартал и за полугодие в целом.

№ 3. Численность рабочих предприятия в течение 1989 г. характеризовалась следующими данными (чел.):

На 1/I На 1/III На 1/VII На 1/VIII На 1/I-90 г.

520 510 530 505 524

Исчислите среднегодовую численность рабочих предприятия за 1989 г.

№ 4. Имеются следующие данные об остатках вкладов в сберегательном банке в первом полугодии 1989 г. (тыс. руб.):

На 1/I На 1/II На 1/III На 1/IV На 1/V На 1/VI На 1/VII

880 883 881 900 910 918 920

Исчислите средние остатки вкладов в сберегательном банке а) за первый квартал; б) за второй квартал; г) за полугодие в целом.

№ 5. Имеются следующие данные о товарных запасах магазина розничной торговли за первый квартал 1989 г. (тыс. руб.):

	На 1/I	На 1/II	На 1/III	На 1/IV
Продовольственные товары	153	162	130	145
Непродовольственные товары	264	254	265	260

Исчислите средние товарные запасы магазина за первый квартал: а) продовольственных товаров; б) непродовольственных товаров; в) продовольственных и непродовольственных товаров вместе.

№ 6. Численность рабочих предприятия по месяцам года характеризуется следующими данными ( чел.) :

На 1/I …………………………………………….2150

На 1/II…………………………………………….2130

На 1/III ………………………………………….. 2156

На 1/IV……………………………………………2160

На 1/V ……………………………………………2145

На 1/VI ……………………….. …………………2168

На 1/VII …………………………………………..2180

На 1/VIII…………………………………………..2205

Известно, что среднесписочная численность рабочих за III квартал составила 2172 чел., за IV квартал – 2181 чел.

Определите среднесписочную численность рабочих за первое полугодие, за второе полугодие и за год в целом.

№ 7. Имеются следующие данные о производстве продукции промышленного предприятия за 1985-1990 г.г. (в сопоставимых ценах; млн. руб.):

1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 1990 г.

18,0 19,0 20,5 21,5 23,0 25,0

Для анализа динамики производства продукции предприятия исчислите:

1) среднегодовое производство продукции за двенадцатую пятилетку;

2) ежегодные и базисные абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста;

3) абсолютное значение одного процента прироста;

4) среднегодовой абсолютный прирост;

5) среднегодовой темп роста и среднегодовой темп прироста;

6) среднее значение одного процента прироста.

Полученные данные представьте в таблице и проанализируйте их. Изобразите динамику производства продукции предприятия на графике.

№ 8. Ежегодный прирост производства продукции промышленного предприятия за 1985-1989 гг. характеризуется следующими данными ( в% к предыдущему году):

1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г.

3 6 5 7 8

Исчислите базисные темпы роста (1985 г. = 100) производства продукции предприятия за годы двенадцатой пятилетки и среднегодовой темп роста.

№ 9. Имеются данные о производстве товаров культурно-бытового назначения в СССР в среднем за сутки (тыс. шт.):

Годы	Радиоприемные устройства	Телевизоры	Холодильники бытовые
1970	21	18	11
1975	23	19	15
1980	23	21	16
1986	24	26	16

Приведите ряды динамики к одному основанию. Исчислите коэффициенты опережения производства холодильников к производству радиоприемников и телевизоров, а также производства телевизоров к радиоприемникам. Сделайте краткие выводы.

№ 10. Имеются следующие данные о ежесуточной выплавке чугуна по области в первой половине октября (тыс. т):

Дни	Выплавка	Дни	Выплавка	Дни	Выплавка
1	30,3	6	35,3	11	36,5
2	31,5	7	35,4	12	36,9
3	33,0	8	35,1	13	39,3
4	31,8	9	37,0	14	37,8
5	32,1	10	34,5	15	36,9

Произведите сглаживание методом пятидневной скользящей средней.

№ 11. Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года составила (тыс. т):

Месяцы	Годы
	I	II	III
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	134 106 117 318 381 434 267 82 608 462 108 173	171 158 164 303 455 516 257 122 430 620 177 88	105 92 135 286 351 405 143 221 103 1154 166 147

Измерьте сезонные колебания реализации картофеля, исчислив индексы сезонности методом отношений средних месячных к постоянной средней.

Постройте график сезонной волны продажи картофеля.

Объясните, для чего измеряют сезонные колебания.

№ 12. Имеются данные о внутригодовой динамике продажи овощей и фруктов в системе потребительской кооперации района по кварталам за 1987-1989 гг. (тыс. руб.):

Кварталы	1987 г.	1988 г.	1980 г.
I II III IV	420 1740 2460 1802	480 2165 2300 1637	598 2398 2412 1690

Для анализа внутригодовой динамики продажи овощей и фруктов в системе потребительской кооперации района исчислите индексы сезонности с применением метода аналитического выравнивания по прямой.

Постройте график сезонной волны.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

№ 1. В 1985 г. были изменены границы района. Данные о поголовье крупного рогатого скота в районе за 1983-1989 гг. приведены ниже (тыс. голов):

Поголовье скота	1983г.	1984г.	1985г.	1986г.	1987г.	1988г.	1989г.
До изменения границ	45,0	48,0	50,0	-	-	-	-
После изменения границ	-	-	70,0	71,3	73,2	74,1	75,0

Требуется привести ряды динамики к сопоставимому виду.

Решение. Предварительно определим коэффициент пересчета уровней в 1985 г., в котором произошло изменение границ района: К=70:50=1,4.

Умножая на этот коэффициент уровни ряда динамики в старых границах, получаем их сопоставимыми с уровнями в новых границах.

В 1983г………………………………45×1,4=63,0 (тыс.голов)

В 1984 г……………………………...48×1,4=67,2 (тыс.голов).

Теперь представим полученные данные о поголовье крупного рогатого скота в виде ряда динамики:

1983 г. 1984 г. 1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г.

63,0 67,2 70,0 71,3 73,2 74,1 75,0

Полученные сопоставимые данные характеризуют рост поголовья крупного рогатого скота в районе за 1983-1989 гг. Они могут быть использованы для расчета аналитических показателей ряда динамики.

№ 2. Имеются следующие данные о потреблении электроэнергии на производственные цели колхозами и совхозами СССР за 1975-1986 гг. (млрд. кВт/ч):

Годы	Колхозы	Совхозы
1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986	17,0 18,7 19,4 21,0 21,9 23,3 23,3 24,5 25,2 27,2 29,1 30,5	21,2 25,6 27,9 30,4 32,4 35,1 36,0 38,2 39,7 43,0 45,0 46,6

Требуется привести ряды динамики к общему основанию. Сделать краткие выводы.

Решение. Чтобы привести различные динамические ряды к единому основанию , необходимо уровни рядов динамики сравнить с одним уровнем, принятым за базу. В данных рядах за базу сравнения примем уровень 1975 г. и исчислим базисные темпы роста.

Для колхозов:

%; и т.д.

Для совхозов:

; и т.д.

Представим полученные показатели в таблице.

Таблица 1

Темпы роста потребления электроэнергии колхозами и совхозами СССР за 1975-1986 гг., % (1975 г.=100)

Годы	Колхозы	Совхозы
1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986	100 110,0 114,1 123,5 128,8 137,1 137,1 144,1 148,2 160,0 171,2 179,4	100 120,8 131,6 148,4 152,8 105,6 169,8 180,2 187,3 202,8 212,3 219,8

Данные таблицы показывают, что потребление электроэнергии на производственные цели в колхозах и совхозах постоянно растет. За годы десятой и одиннадцатой пятилеток и один год двенадцатой пятилетки прирост производственного потребления электроэнергии составил в колхозах 79,4% и совхозах 119,8%.

Это свидетельствует о неуклонном росте технического прогресса в сельскохозяйственном производстве.

Чтобы узнать, во сколько раз производственное потребление электроэнергии выше в совхозах по сравнению с колхозами, необходимо сравнить базисные коэффициенты роста за изучаемый период, т.е. исчислить коэффициенты опережения:

.

где Т_с - темп роста потребления электроэнергии в совхозах;

Т_к - темп роста потребления электроэнергии в колхозах.

Для 1980 г. коэффициент опережения равен:

,

Для 1986 г. коэффициент опережения равен:

.

Коэффициенты опережения показывают, что по сравнению с 1975 г. производственное потребление электроэнергии в совхозах в 1980 г. было в 1,21 раза (или на 21%) выше, чем в колхозах, в 1986 г. – в 1.23 раза выше, что свидетельствует о более высоком уровне технического прогресса в совхозах по сравнению с колхозами.

№ 3. Имеются следующие данные о производстве продукции предприятием за 1986-1990 гг. (тыс. руб.):

1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 1990 г.

20400 21300 22200 22650 23600

Требуется исчислить среднегодовое производство продукции за двенадцатую пятилетку.

Решение. Для интервального ряда динамики средний уровень исчислим по формуле средней арифметической простой:

= 22030 (тыс.руб.).

№ 4. Имеются следующие данные об остатках сырья и материалов на складе предприятия (тыс. руб.):

На 1/I …………………………………………….400

На 1/II……………………………………………..455

На 1/III ……………………………………………465

На 1/IV…………………………………………….460

Требуется определить среднемесячный остаток сырья и материалов на складе предприятия за I квартал.

Решение. По условию задачи имеем моментный ряд динамики с равными интервалами, поэтому средний уровень ряда будет исчислен по формуле средней хронологической:

(тыс. руб.).

№ 5. Имеются следующие данные о товарных запасах розничного торгового предприятия (тыс. руб.):

На 1/I-1988г. На 1/V-1988 г. На 1/VIII-1988 г. На 1/I-1989 г.

61,1 57,5 51,3 74,7

Требуется исчислить среднегодовой товарный запас розничного торгового предприятия за 1988г.

Решение. Имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами. Средний уровень товарных запасов за год исчислим по формуле:

,

где - средние уровни а интервале между датами;

t – величина интервала времени (число месяцев между моментами времени).

Так, средний уровень товарных запасов равен:

с 1/I по 1/V = 59,3;

с 1/V по 1/VII = 54,4 и т.д.

Число месяцев (t) между моментами времени равно 4, 3, 5. Следовательно, средний уровень товарных запасов за год составит:

(тыс. руб.).

№ 6. Автотранспортное предприятие по состоянию на 1 января 1989 г. имело 200 автомашин, 1 марта выбыло 5 автомашин, 1 сентября в распоряжение автотранспортного предприятия поступило 15 автомашин.

Требуется вычислить среднегодовую численность автомашин предприятия.

Решение. Представим вышеприведенные данные в виде моментного ряда динамики. Численность автомашин составила (шт.):

На 1/I …………………………………………….209

На 1/III …………………………………………..195

На 1/IХ …………………………………………..210

Представленный моментный ряд динамики имеет неравные интервалы (2, 6, 4 месяца). Для такого типа задач средний уровень будет исчислен по формуле средней арифметической взвешенной:

.

автомашина.

№ 7. Имеются следующие данные о производстве продукции промышленного предприятия за 1985-1990 г.г. (в сопоставимых ценах; млн. руб.):

1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. 1990 г.

8,0 8,4 8,9 9,5 10,1 10,8

Требуется исчислить аналитические показатели ряда динамики производства продукции предприятия за годы двенадцатой пятилетки: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста, а также средние обобщающие показатели ряда динамики.

Решение. В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты , темпы ростаи темпы приростамогут быть исчислены с переменной базой сравнения (цепные) и с постоянной базой сравнения (базисные).

1. Абсолютный прирост - это разность между последующим уровнем ряда и предыдущим (или базисным). Так , в 1986 г. прирост продукции равен: 8,4 - 8,0 = 0,4 млн. руб. Аналогично исчисляются абсолютные приросты за любой год. В общем виде абсолютный прирост равен:

цепной

;

базисный

.

Результаты расчета показателей в табл. 2, гр. 2,3.

Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:

а) как средняя арифметическая простая годовых (цепных) приростов

(млн.руб.);

б) как отношение базисного прироста к числу периодов

(млн. руб.).

2. Темп роста (Т) – относительный показатель, характеризующий интенсивность развития явления, Он равен отношению изучаемых уровней и выражается в коэффициентах и процентах. Цепной темп роста исчисляют отношением последующего уровня к предыдущему: , базисный – отношением каждого последующего уровня к одному уровню, принятому за базу сравнения:

Цепные темпы роста составили:

В 1986 г. по сравнению с 1985г.

Т_86/85 = (или 105,0%);

в 1987 г. по сравнению с 1986 г.

Т_87/86 = (или 105,2%) и т.д.

Базисные темпы за эти же периоды равны:

Т_86/85 = (или 105,0%);

Т_87/85 = (или 111,2%) и т.д. (см.табл.2, гр.4,5).

Между цепными и базисными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение соответствующих цепных темпов роста равно базисному. Зная базисные темпы, можно исчислить цепные делением каждого последующего базисного темпа роста на каждый предыдущий.

3. Темп прироста определяют двумя способами:

а) как отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню или базисному уровню:

_86/85 = (или 5,0%),

_87/86 = (или 5,9%) и т.д.

(цепные – см. табл. 2, гр.6);

_86/85 = (или 5,0%),

_87/85 = (или 11,2%) и т.д.

(базисные – см. табл. 2, гр. 7);

б) как разность между темпами роста и единицей, если темпы роста выражены в коэффициентах: Т∆=Т-1; или как разность между темпами роста и 100%, если темпы роста выражены в процентах: Т∆=Т-100%.

Следовательно, темп прироста в 1986 г. по сравнению с 1985 г. равен: 1,050-1=0,050, или 105%-100%=5,0% и т.д.

4. Абсолютное значение одного процента прироста равно отношению абсолютного прироста (цепного) к темпу прироста (цепному) (%):

.

Тогда

в 1986 г.

= 0,08 (млн. руб.);

в 1987 г.

= 0,084 (млн. руб.) и т.д.

Для наглядности единицы измерения удобнее записать в тыс. руб., т.е. 0,08 млн. руб. = 80 тыс. руб. и т.д.

Этот показатель может быть исчислен иначе: как одна сотая часть предыдущего уровня. Например, в 1987 г. по сравнению с 1986 г. абсолютное содержание 1 % прироста составило: = 0,084 (млн. руб.) = 84 (тыс. руб.) и т.д.

Расчет среднего абсолютного значения одного процента прироста за несколько лет производится по формуле:

(тыс. руб.).

Исчисленные выше аналитические показатели ряда динамики представим в таблице 2.

Т а б л и ц а 2

Динамика производства продукции промышленного предприятия

за 1985-1990 гг.

Годы	Продукция в сопоставимых ценах, млн. руб.	Абсолютные приросты		Темпы роста, %		Темпы прироста, %		Абсолютное значение одного процента прироста, тыс. руб.
		ежегодные	к 1985 г.	ежегодные	к 1985 г.	ежегодные	к 1985 г.
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1985	8,0	-	-	-	100	-	-	-
1986	8,4	0,4	0,4	105,0	105,0	5,0	5,0	80
1987	8,9	0,5	0,9	105,9	111,2	5,9	11,2	84
1988	9,5	0,6	1,5	106,7	118,7	6,7	18,7	89
1989	10,1	0,6	2,1	106,3	126,2	6,3	26,2	95
1990	10,8	0,7	2,8	106,9	135,0	6,9	35,0	101

№ 8. По исходным данным задачи № 7 исчислить среднегодовой темп роста и прироста производства продукции за годы двенадцатой пятилетки.

Решение. Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней геометрической двумя способами:

или ,

где Т – цепные коэффициенты роста;

n – число коэффициентов;

П – знак произведения.

Следовательно,

=

(или 106,2%).

2)

где у_о – начальный уровень;

у_п – конечный уровень.

Для нашего примера этот показатель равен:

(или 106,2%).

Среднегодовой темп прироста исчисляется:

а)= 106,2-100 = 6,2% (если темп роста выражен в %);

б) 106,2-1,00 = 0,062 (если темп роста выражен в коэффициентах).

Следовательно, в течение пяти лет, начиная с 1986 г. по 1990 г., производство продукции увеличилось в среднем за год на 6,2%.

№ 9. Имеются данные о продаже молока и молочных продуктов на душу населения по области за 1981-1989 гг. (руб.):

1981 г. 1982 г. 1983 г. 1984 г. 1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г.

год год год год год год год год год

10,0 10,7 12,0 10,3 12,9 16,3 15,6 17,8 18,0

Требуется выявить основную тенденцию продажи молока и молочных продуктов на душу населения за 1981-1989 гг.:

1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей средней;

2)методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой.

Решение. Метод сглаживания ряда динамики скользящей средней. Сгладим ряд динамики по трехлетней скользящей средней, так как период колебаний продажи равен трем годам.

Исчислим:

средний уровень за 1981-1983 гг.

= 10,9 (руб.);

средний уровень за 1982-1984 гг.

= 11,0 (руб.);

средний уровень за 1983-1985 гг.

= 11,8 (руб.) и т.д.

Результаты расчета трехлетней скользящей средней представлены в табл.3,гр.3

Т а б л и ц а 3

Динамика продажи молока и молочных продуктов на душу населения по области за 1981-1989 гг. (руб.)

Годы	Продажа молока и молочных продуктов на душу населения	Скользящая трехлетняя сумма продажи	Трехлетняя скользящая средняя
А	1	2	3
1981	10,0 (у1)	-	-
1982	10,7 (у2)	32,7 (у1+у2+у3)	10,9
1983	12,0 (у3)	33,0 (у2+у3+у4)	11,0
1984	10,3 (у4)	35,2 (у3+у4+у5)	11,8
1985	12,9 (у5)	39,5	13,2
1986	16,3	44,8	14,9
1987	15,6	49,7	16,6
1988	17,8	51,4 (уп-2+уп-1+уп)	17,1
1989	18,0 (уп)	-	-

В гр. 1 табл. 3 нет четкой тенденции роста продажи молока и молочных продуктов на душу населения. Наряду с ростом имеется в отдельные годы и снижение продажи молочных продуктов. Выравненные значения (табл.3, гр. 3) показывают, что с 1981 г. по 1989 г. наблюдается рост продажи молока и молочных продуктов на душу населения области.