Метод аналитического выравнивания ряда динамики по прямой

Уравнение прямой линии выражено формулой:

,

где - значения выравненного ряда, которые нужно вычислить (теоретические уровни);

и - параметры прямой;

- показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).

Для нахождения параметров инеобходимо решить систему нормальных уравнений:

,

где у –фактические уровни ряда динамики;

п – число уровней.

Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода:

Годы	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988	1989
t	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

Следовательно, ∑t = 0. Тогда система нормальных уравнений примет вид:

а_оn = ∑y

а₁∑t²=∑yt

Отсюда а_о =;а₁ = .

Т а б л и ц а 4

Расчет параметров а_{о и} а₁

Годы	Продажа молока и молочных продуктов на душу населения, руб., у	Условные годы, t	t^2	yt	yt
А	1	2	3	4	5
1981	10,0	-4	16	-40,0	9,30
1982	10,7	-3	9	-32,1	10,41
1983	12,0	-2	4	-24,0	11,52
1984	10,3	-1	1	-10,3	12,63
1985	12,9	0	0	0	13,74
1986	16,3	1	1	16,3	14,85
1987	15,6	2	4	31,2	15,96
1988	17,8	3	9	53,4	17,07
1989	18,0	4	16	72,0	18,18
				=

Следовательно,

а_о =(руб.);

а₁ =(руб.).

Таким образом, уравнение прямой примет вид:

.

Подставив в это уравнение значение t (табл.4. гр.2), получим выравненные теоретические значения y_t (табл. 4, гр. 5).

Параметры а_о и а₁ можно исчислить иначе с помощью определителей:

а_о =;а₁ =

Приведенные формулы показывают, что для нахождения параметров а_о и а₁ необходимо получить следующие значения: ;;. Обозначив годы (t) порядковыми номерами, определим эти величины и представим их значения в табл. 5.

Т а б л и ц а 5

Расчет параметров а_{о и} а₁ с помощью определителей

Годы	Продажа молока и молочных продуктов на душу населения, руб., у	t	t^2	yt	yt
А	1	2	3	4	5
1981	10,0	1	1	10,0	9,30
1982	10,7	2	4	21,4	10,41
1983	12,0	3	9	36,0	11,52
1984	10,3	4	16	41,2	12,63
1985	12,9	5	25	64,5	13,74
1986	16,3	6	36	97,8	14,85
1987	15,6	7	49	109,2	15,96
1988	17,8	8	64	142,4	17,07
1989	18,0	9	81	162,0	18,18

Далее определим параметры а_о и а₁ :

а_о = === 8,19 руб.;

а₁ = === 1,11 руб.

Следовательно, y = 8,19 +1,11t.

Далее расчет аналогичен приведенному выше. Подставив в это уравнение значения t (табл. 5, гр.2), получим выравненные теоретические значения y_t (табл.5, гр. 5).

После решения уравнения наносим на график фактические уровни и исчисленную прямую линию, характеризующую тенденцию динамического ряда.

№ 10. Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года характеризуется следующими данными (т):

Годы	Месяцы
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
Первый год	70	71	82	190	280	472	295	108	605	610	184	103
Второй год	71	85	84	308	383	443	261	84	630	450	177	168
Третий год	63	60	59	261	348	483	305	129	670	515	185	104

Требуется определить индексы сезонности.

Решение. Расчет индексов сезонности в стабильных рядах динамики (к постоянной средней). Для исчисления индексов сезонности применяют различные методы. Выбор метода зависит от характера общей тенденции ряда динамики. Чтобы выявить общую тенденцию ряда динамики, воспользуемся наиболее простым методом: сначала произведем сопоставление месячных уровней одноименных месяцев, затем – укрупнение месячных уровней в годовые и по годовым показателям исчислим темпы роста:

Годы	Годовые уровни реализации картофеля, т	Темпы роста, %
		к предыдущему году	к первому году
Первый год	3070	-	100
Второй год	3144	102,4	102,4
Третий год	3182	101,2	103,6

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается стабильность годовых уровней или имеет место незначительная тенденция роста (снижения), изучение сезонности основано на методе постоянной средней. Примером является представленный ряд динамики, в котором цепные и базисные темпы изменяются незначительно, поэтому индекс сезонности будет исчислен по формуле:

,

где - средние месячные уровни ряда ( по одноименным месяцам);

- общий средний уровень ряда (постоянная средняя).

Применяя формулу средней арифметической простой, определим средние месячные уровни за три года:

.

Тогда

январь (т),

февраль (т) и т.д. (см. табл. 6, гр. 5).

Исчислим общую (постоянную) среднюю:

или ,

=

= = 261 т или

= 261 т .

и, наконец, исчислим за каждый месяц индексы сезонности:

январь

(или 26,3%);

февраль

(или 27,6%) и т.д. (см. табл. 6, гр.6).

Т а б л и ц а 6

Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года

Месяцы	Реализация картофеля, т					Индексы сезонности, %
	Первый год, уі	Второй год, уі	Третий год, уі	Всего за три года, ∑уі	В среднем за три года,
А	1	2	3	4	5	6
Январь	70	71	63	204	68	26,3
Февраль	71	85	60	216	72	27,6
Март	82	84	59	225	75	28,7
Апрель	190	308	261	759	253	96,9
Май	280	383	348	1011	337	129,1
Июнь	472	443	483	1398	466	178,5
Июль	295	261	305	861	287	110,0
Август	108	84	129	321	107	41,0
Сентябрь	605	630	670	1905	635	243,3
Октябрь	610	450	515	1575	525	201,0
Ноябрь	184	177	185	546	182	69,7
Декабрь	103	168	104	375	125	47,9
И т о г о	3070	3144	3182	9396	= 261	100,0

По индексам сезонности можно наблюдать рост или снижение продажи картофеля в различное время года. Так, наименьший спрос приходится на январь – февраль, а наибольший – на сентябрь – октябрь. Для наглядности можно построить график сезонной волны реализации картофеля (см. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1984, с. 256).

№ 11. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике заготовок сельскохозяйственной продукции области по кварталам за три года:

Кварталы	Заготовлено продукции, тыс. руб.
	Первый год	Второй год	Третий год
I	162	159	158
II	170	193	225
III	177	178	187
IV	151	168	172

Для анализа внутригодовой динамики заготовок сельскохозяйственной продукции области требуется исчислить индексы сезонности.

Решение. Вычисление индексов сезонности в рядах динамики с тенденцией развития (к переменной средней). По аналогии с предыдущим примером для каждого года квартальные уровни укрупним до годовых и по ним исчислим темпы роста:

Годы	Годовые уровни, тыс. руб.	Темпы роста, %
		к предыдущему году	к первому году
Первый год	660	-	100
Второй год	698	105,8	105,8
Третий год	742	106,3	112,4

Можно заметить, что ряд динамики имеет четкую тенденцию роста заготовок, это подтверждают довольно высокие цепные и базисные темпы роста.

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается тенденция роста, изучение сезонности основано на методе переменной средней.

Для расчета индекса сезонности в таких рядах динамики применяется формула:

где - фактические (эмпирические) уровни ряда;

- выравненные (теоретические) уровни ряда;

п – число лет.

Определим теоретические значения () по уравнению:

.

Для расчета параметров а_{о и} а₁ составим таблицу 7.

Т а б л и ц а 7

Расчет параметров а_{о и} а₁

Период	Эмпирические уровни ряда, yi	Обозначения времени, t	t^2	yt	yt	%
А	1	2	3	4	5	6
Первый год
I квартал	162	-5,5	30,25	-891,0	162,6	99,6
II	170	-4,5	20,25	-765,0	164,8	103,2
III	177	-3,5	12,25	-619,5	167,1	195,9
IV	151	-2,5	6,25	-377,5	169,4	89,1
Второй год
I квартал	159	-1,5	2,25	-238,5	171,6	92,7
II	193	-0,5	0,25	-96,5	173,9	111,0
III	178	0,5	0,25	89,0	176,1	101,1
IV	168	1,5	2,25	252,0	178,4	94,2
Третий год
I квартал	158	2,5	6,25	395,0	180,7	87,4
II	225	3,5	12,25	787,5	182,9	123,0
III	187	4,5	20,25	841,5	185,2	101,0
IV	172	5,5	30,25	946,0	187,3	91,8

Исчислим параметры:

а_о =;

а₁ =.

Следовательно, уравнение прямой примет вид:

Подставив в полученное уравнение значения t (квартальные), получим выравненные значения ряда: